Integration Doppelintegral exp < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mo 23.03.2009 | | Autor: | JakobL |
| Aufgabe | | [mm]Sei D:= \{(x,y) \in \IR^2 | 0 < x, y < x \}
Zeige: \int_{D}{ x*e^{-\bruch{1}{2}(x^2 + y^2)}}dxdy = (1 + \wurzel(2))/2 *\wurzel(\pi)
Ohne Beweis kann verwendet werden: \integral_{-\infty}^{\infty} exp(-x^2)\, dx = \wurzel(\pi)
[/mm] |
Hallo,
ich sitze hier grade an obiger Altklausuraufgabe, die mich wahnsinnig macht. Ich habe einfach mal die Integrationsreihenfolge vertauscht, was ja aber nur ärger macht, da ich ja dann zum schluss einen bedeutungslosen Ausdruck mit x stehen habe... Aber so müsste es doch eigentlich irgendwie gehen, denn der Term legt ja Integration nach x schon nahe oder? wenn ich zuerst nach y integriere komme ich gar nicht zurecht, weil ich die [mm]exp(-1/2)y^2 [/mm] nicht wirklich integrieren kann.
Irgendjemand eine Idee? vielen Dank schonmal!
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> [mm]Sei D:= \{(x,y) \in \IR^2 | 0 < x, y < x \}
Zeige: \int_{D}{ x*e^{-\bruch{1}{2}(x^2 + y^2)}}dxdy = (1 + \wurzel(2))/2 *\wurzel(\pi)
Ohne Beweis kann verwendet werden: \integral_{-\infty}^{\infty} exp(-x^2)\, dx = \wurzel(\pi)
[/mm]
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> Hallo,
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> ich sitze hier grade an obiger Altklausuraufgabe, die mich
> wahnsinnig macht. Ich habe einfach mal die
> Integrationsreihenfolge vertauscht, was ja aber nur ärger
> macht, da ich ja dann zum schluss einen bedeutungslosen
> Ausdruck mit x stehen habe... Aber so müsste es doch
> eigentlich irgendwie gehen, denn der Term legt ja
> Integration nach x schon nahe oder? wenn ich zuerst nach y
> integriere komme ich gar nicht zurecht, weil ich die
> [mm]exp(-1/2)y^2[/mm] nicht wirklich integrieren kann.
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> Irgendjemand eine Idee? vielen Dank schonmal!
Du kannst das Doppelintegral auf folgende Form bringen:
[mm]\int\limits_0^\infty e^{-y^2/2}\cdot \int\limits_y^\infty x e^{-x^2/2}\,dx\;dy[/mm]
Das innere Integral [mm] $\int\ldots [/mm] dx$ berechnest Du dann mittels Substitution. Es ist - Zufall, Zufall - gleich [mm] $e^{-y^2/2}$. [/mm] - Also?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 23.03.2009 | | Autor: | JakobL |
danke schonmal für deine antwort, aber ich fürchte ich bin ein härtefall, was diese aufgabe angeht...
zum einen verstehe ich nicht ganz wie du auf die umformung des doppelintegrals gekommen bist. eigentlich müsste y doch von [mm] -\infty [/mm] bis x laufen und jetzt läuft es ja von 0 bis [mm] \infty.
[/mm]
das innere integral habe ich dann auch berechnet aber dann erhalte ich ja zum schluss nur noch:
[mm] $ \int\limits_0^\infty e^{-y^2} dy $ [/mm]
und das wäre ja dann [mm]\wurzel(\pi)/2[/mm] und nicht das gewünschte...
tut mir leid, fürchte ich habe da ein brett vorm kopf. wir haben eine ähnliche aufgabe mal gerechnet, aber da ging das alles erheblich einfacher.
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> danke schonmal für deine antwort, aber ich fürchte ich bin
> ein härtefall, was diese aufgabe angeht...
> zum einen verstehe ich nicht ganz wie du auf die umformung
> des doppelintegrals gekommen bist. eigentlich müsste y doch
> von [mm]-\infty[/mm] bis x laufen und jetzt läuft es ja von 0 bis
> [mm]\infty.[/mm]
Du hast recht: ich habe in der Eile den Integrationsbereich falsch interpretiert. Leider habe ich im Moment nicht genügend Zeit mich mit diesem Problem zu beschäftigen (habe gleich eine Online-Nachhilfestunde zu geben). Vielleicht hat ja jemand eine bessere Idee.
> das innere integral habe ich dann auch berechnet aber dann
> erhalte ich ja zum schluss nur noch:
> [mm]$ \int\limits_0^\infty e^{-y^2} dy $[/mm]
> und das wäre ja dann
> [mm]\wurzel(\pi)/2[/mm]
Dieses Integral wäre also nur der Teil für [mm] $0\leq [/mm] x,y$ und [mm] $y\leq [/mm] x$. Vielleicht sollte man über den Rest (das ist der ganze 4. Quadrant, d.h. [mm] $0\leq [/mm] x$ und [mm] $y\leq [/mm] 0$) getrennt integrieren: denn dieser Rest ist ein Rechteckbereich, bezüglich dem sich das Doppelintegral des Produktes von [mm] $x\cdot e^{-x^2/2}$ [/mm] und [mm] $e^{-y^2/2}$ [/mm] sehr leicht in ein Produkt von Integralen umformen lässt. Integrale, die Du beide berechnen kannst.
> und nicht das gewünschte...
> tut mir leid, fürchte ich habe da ein brett vorm kopf. wir
> haben eine ähnliche aufgabe mal gerechnet, aber da ging das
> alles erheblich einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Di 24.03.2009 | | Autor: | JakobL |
ja, so hab ichs hingekriegt! Vielen Dank
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