Integration Funktion R^2 -> R < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Do 21.01.2010 | | Autor: | Majin |
| Aufgabe | f:[0:1]x[0:1] [mm] \to \IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 2^{2n}, & 2^{-n}< x \le 2^{-n+1} , 2^{-n}< y \le 2^{-n+1} , n \in \IN \\ -2^{2n+1}, & 2^{-n+1}< x \le 2^{-n} , 2^{-n}< y \le 2^{-n+1}, n \in \IN \\ 0 ,& \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \integral_{(0,1)}{\integral_{(0,1)}{f(x,y) d\lambda^{1}x}d\lambda^{1}y} \not= \integral_{(0,1)}{\integral_{(0,1)}{f(x,y) d\lambda^{1}y}d\lambda^{1}x} [/mm] |
Ich hab leider garkeinen Plan wie man das überhaupt integrieren kann, wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.
Edit: Danke für den Hinweis war mir nciht aufgefallen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Do 21.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> f:[0:1]x[0:1] [mm]\to \IR[/mm] sei definiert durch
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 2^{2n}, & 2^{-n}< x \le 2^{-n+1} , & 2^{-n}< y \le 2^{-n+1} \\ -2^{2n+1}, & 2^{-n}< x \le 2^{-n+1} , & 2^{-n}< y \le 2^{-n+1}\\ 0 ,& \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
Ich glaube du hast dich da verschrieben. Die Werte werden jeweils denselben Intervallen zugeteilt.
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\integral_{(0,1)}{\integral_{(0,1)}{f(x,y) d\lambda^{1}x}d\lambda^{1}y} \not= \integral_{(0,1)}{\integral_{(0,1)}{f(x,y) d\lambda^{1}y}d\lambda^{1}x}[/mm]
>
> Ich hab leider garkeinen Plan wie man das überhaupt
> integrieren kann, wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.
Das ist eine Treppenfunktion. Schreibe sie in der kanonischen Darstellung mit der charakteristischen Funktion und benutze die Definition des Lebesgue-Integrals.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 21.01.2010 | | Autor: | Majin |
Also die kanonische Darstellung zu meiner Funktion ist doch :
[mm] \summe_{i=1}^{r} \alpha_{i} X_{A_{i}} [/mm] = f
wobei [mm] \alpha_{i} [/mm] genau mein Funktionswert ist und X meine charakteristische Funktion ist,
kann ich nun die charakteristische Funktion theoretisch aufteilen in den Teil der die y Werte "bewertet" und den der x Werte?
Aber wie kann ich das dann auf die Doppelintegrale übertragen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 21.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Zunächst einmal: Überprüfe nochmal bitte deine Funktion. Was da steht kann nicht richtig sein, weil immer noch x und y zu beiden Werten dieselben Intervalle durchlaufen.
Und ja, es gilt natürlich: [mm] X_{U\times V}(x,y) = X_V(x)*X_U (y) [/mm].
Das Doppelintegral bedeutet hier jetzt zunächst einmal einfach, dass du zwei Integrationen hintereinander ausführst. Du integrierst also einfach ganz normal deine Treppenfunktion erst 'nach x' dann 'nach y' bzw umgekehrt.
Wie sieht denn das Integral einer Treppenfunktion aus, wenn du die kanonische Darstellung hast?
Gruß
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Do 21.01.2010 | | Autor: | Majin |
Sorry da hab ich vollkommen drüber gelesen. Jetzt müsste es stimmen...
Also wenn ich das Integral zu einer kanonischen Darstellung bilde müsste es das folgende sein:
[mm] \summe_{i=1}^{r} \alpha_{i} [/mm] * [mm] \lambda(A_i \cap [/mm] E ) = [mm] \integral_{E}{ f d\lambda^{2}}
[/mm]
bzw. in meinem Fall
[mm] \integral_{(0,1)}{\integral_{(0,1)}{f(x,y) \lambda(x)}\lambda(y)}= \integral_{(0,1)}{[\summe_{i=0}^{r} \alpha_{i}\lambda(A_{i} \cap (0,1))]X_{(0,1)}(y)]} \lambda(y)
[/mm]
aber ist das ganze dann nicht gleich
[mm] \summe_{i=0}^{r}\alpha_{i} \lambda(A_{i} \cap [/mm] (0,1)) [mm] \lambda(B_{i} \cap [/mm] (0,1))
Ich fürchte ich hab hier ein gewaltiges Brett vorm Kopf :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Deine Funktion kann immer noch nicht stimmen. Die Intervalle für y sind immer noch identisch, und beim zweiten Intervall für x steht jetzt [mm]2^{-n+1}
Schreib doch mal konkret deine Funktion in der kanonischen Darstellung auf!
Berechne dann explizit die Integrale.
Gruß,
Doing
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