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Integration Rückführung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Fr 12.06.2009
Autor: csak1162

Integration durch Rückführung auf rationale Integranden

Es seien a, b, c [mm] \in \IR, [/mm] 4ac - b² [mm] \not= [/mm] 0, n in N und R eine rationale Funktion ihrer Argumente. Die folgenden Integrale lassen sich auf INtegrale rationaler FUnktionen zurückführen:

a) [mm] \integral_{}^{}{R(x, ^{n}\wurzel{ax + b}) dx} [/mm]

......


okay, ich verstehe einfach nicht was das heißt!!!

das R was ist das, wie muss ich das verstehen??? und das in der Klammer???

danke lg


        
Bezug
Integration Rückführung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Fr 12.06.2009
Autor: MathePower

Hallo csak1162,

> Integration durch Rückführung auf rationale Integranden
>
> Es seien a, b, c [mm]\in \IR,[/mm] 4ac - b² [mm]\not=[/mm] 0, n in N und R
> eine rationale Funktion ihrer Argumente. Die folgenden
> Integrale lassen sich auf INtegrale rationaler FUnktionen
> zurückführen:
>  
> a) [mm]\integral_{}^{}{R(x, ^{n}\wurzel{ax + b}) dx}[/mm]
>  
> ......
>  
>
> okay, ich verstehe einfach nicht was das heißt!!!
>  
> das R was ist das, wie muss ich das verstehen??? und das in
> der Klammer???


R ist, laut Aufgabe, eine Funktion ihrer Argumente,
d.h. von x und [mm]\wurzel[n]{ax+b}[/mm].


>  
> danke lg
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integration Rückführung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Sa 20.06.2009
Autor: csak1162

was bedeutet eine FUnktion ihrer Argumente?? heißt das x durch ext $ [mm] \wurzel[n]{ax+b} [/mm] $ kA ????

ich weiß nicht wie ich mir das vorstellen soll, was das ist???
gibt es ein leichtes anschauliches Beispiel dazu??

danke lg

Bezug
                        
Bezug
Integration Rückführung: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Sa 20.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> was bedeutet eine Funktion ihrer Argumente??

Die "Argumente" einer Funktion sind ihre Input-Variablen.
So hat die Funktion f(x) das Argument x oder die
Funktion R(x,y) die Argumente x und y.

Eine rationale Funktion ist entweder ganzrational, d.h.
eine Polynomfunktion, oder gebrochen-rational, d.h.
ein Quotient aus Polynomen.
Beispiele:

    [mm] f:x\mapsto x^3-5x+3 [/mm]            ganzrational, 1 Argument

    [mm] f:x\mapsto\bruch{x^3-5x+3}{x^2+2} [/mm]            gebrochen-rational, 1 Argument

    [mm] f:(x,y)\mapsto x^2y-5xy^2-4x+2 [/mm]    ganzrational, 2 Argumente

    [mm] f:(x,y)\mapsto x^3-xy^2+\bruch{1}{x-\bruch{y^2-1}{x}} [/mm]    gebrochen rational, 2 Argumente

Eine rationale Funktion R(x,y) , angewandt auf die
Argumente x und [mm] y(x)=\wurzel[n]{ax+b} [/mm]  könnte also
beispielsweise sein:

   [mm] F(x)=R(x,y(x))=R(x,\wurzel[n]{ax+b})=x^2-2*x*\wurzel[n]{ax+b}+\bruch{x-\wurzel[n]{ax+b}}{1+(\wurzel[n]{ax+b})^3} [/mm]

Zu beachten ist nun aber, dass die entstandene
Funktion F im Fall n>1 keine rationale Funktion
von x ist, da sie ja die Wurzelausdrücke mit x
unter der Wurzel enthält.
Zu beweisen wäre also, dass die Integration von F
auf die Integration einer rationalen Funktion
zurückgeführt werden kann, indem man z.B. durch
die Substitution [mm] u:=\wurzel[n]{ax+b} [/mm] auf ein Integral [mm] \integral{G(u)\,du} [/mm]  
kommen kann, dessen Integrand G(u) eine rationale
Funktion von u ist.


Gruß     Al-Chwarizmi

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