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Forum "Integration" - Integration (Subst)
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Integration (Subst): Integrieren mit Subst.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Sa 28.04.2007
Autor: Mafiose

Aufgabe
[mm] \integral{x^3*\wurzel{1-x^2} dx} [/mm]

Partielle integration geht ja nicht, da man partieller integration wieder einen Integral als produkt.
Also wollte ich mit Subst. probieren.
Habe in einem Buch 2 verschiedene Typen von Subst. gefunden (methoden)
1. [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] dx=t setzen
2. für x Wert suchen damit es t ergibt
[mm] =>x=\wurzel{1+t} [/mm]
3. dx finden
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{2}{3}*(1+t)^{\bruch{3}{2}} [/mm]
[mm] dx=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1+t)^{\bruch{3}{2}}} [/mm]
4. x und dx ersetzen
[mm] (1+t)^{7/2}*t*\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1+t)^{\bruch{3}{2}}} [/mm]
jetzt fasse ich zusammen
[mm] \bruch{3}{2}*t*(1+t)^2 [/mm]
bruch vor integral ziehen ensteht
[mm] \integral{t*(1+t)^2} [/mm]
das kann man mit partielle integration lösen.
ergibt
[mm] t*\bruch{1}{3}*(1+t)^3-\bruch{1}{12}*(1+t)^4 [/mm]
nach der Rücksubst. sieht das ganze irgendwie komisch aus....
hab ich überhaupt den richtigen ansatz?

        
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Integration (Subst): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 28.04.2007
Autor: Hund

Hallo,

bei 3. hast du falsch abgeleitet. Das Integral berechnest du so:
x=cos u
[mm] \wurzel{1-x²}=sin [/mm] u
dx=-sin u du
Jetzt hast du einen rationalen Ausdruck in sin und cos. Dafür gibt es ein explizites Verfahren.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund
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Integration (Subst): andere Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 28.04.2007
Autor: Loddar

Hallo Mafiose!


Hier führt die Substitution $t \ := \ [mm] 1-x^2$ $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ 1-t$ zum Ziel:

[mm] $\integral{x^3*\wurzel{1-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x*x^2*\wurzel{t} \ \bruch{dt}{-2x}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\integral{(1-t)*t^{\bruch{1}{2}} \ dt} [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar

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Integration (Subst): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Sa 28.04.2007
Autor: Mafiose

ja so sieht es schon besser aus :)
aber ich glaub ich hab falsches ergebniss..

u=(1-t)
u'=-1
[mm] v'=t^\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] v=\bruch{2}{3}*t^\bruch{3}{2} [/mm]

[mm] uv-\integral{u'v} [/mm]
[mm] =>(1-t)*\bruch{2}{3}*t^\bruch{3}{2}-\bruch{4}{15}*(1-x^2)^\bruch{5}{2} [/mm]

stimmt es soweit?
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Integration (Subst): Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Sa 28.04.2007
Autor: Loddar

Hallo Mafiose!


Zum einen machst Du einen Vorzeichenfehler. Und dann musst Du auch im ersten Teil jeweils das $t_$ ersetzen durch [mm] $1-x^2$ [/mm] . Und auch den Faktor [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] nicht vergessen:

$F(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\left[\bruch{2}{3}*x^2*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}} \ \red{+} \ \bruch{4}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{5}{2}}\right] [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*x^2*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{2}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{5}{2}}+C$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Integration (Subst): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 29.04.2007
Autor: Mafiose

arghhh ....stimmt u' vergessen :)
ich hab auf integrals.wolfram (Web) das integral eingegeben, da kommt aber was anderes....
nämlich das hier:
[mm] -\bruch{1}{15}*(1-x²)^\bruch{3}{2}*(3x²+2) [/mm]
Bezug
                                        
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Integration (Subst): stimmt aber nicht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 So 29.04.2007
Autor: Loddar

Hallo Mafiose!


Dieses Ergebnis scheint mir aber nicht zu stimmen. Leite es doch mal wieder gemäß MBProduktregel ab.


Bei meinem o.g. Ergebnis könnte man noch etwas zusammenfassen, indem man z.B. [mm] $-\bruch{1}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}}$ [/mm] ausklammert.


Gruß
Loddar


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Integration (Subst): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 So 29.04.2007
Autor: Mafiose

hm..ja könnte sein, dass die Seite falsch berechnet.
Kennst du vlt. noch eine seite wo man integrieren kann?
http://integrals.wolfram.com da hab ich das Ergebniss her.

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Integration (Subst): Substitution: t:=1-x^2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 30.04.2007
Autor: Goldener_Sch.

Hallo Mafiose!
...und einen schönen Tag!


Um auf die Lösung des Integrals zu sprechen zu kommen:
Ich würde hier die von Loddar vorgeschlagene Substitution verwenden!


[mm] \integral_{}^}x^3*\wurzel{1-x^2}\;dx[/mm]

Nach der MBSubstitutionsregel ist:

[mm]t:=1-x^2[/mm] [mm] \gdw[/mm]  [mm]x^2=1-t[/mm]

[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\left \bruch{d\;t}{dx} \right=\left \bruch{d\;1-x^2}{dx} \right[/mm] [mm] \gdw[/mm]  [mm]\left \bruch{d\;t}{dx} \right=-2x[/mm] [mm] \gdw[/mm]  [mm]d\;t=-2x\;dx[/mm] [mm] \gdw[/mm]  [mm]dx=\left \bruch{d\;t}{-2x} \right[/mm]

[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\integral_{}^{}x^2*x*\wurzel{t}\;\left \bruch{d\;t}{-2x} \righ=\integral_{}^{}-\left \bruch{1}{2} \right\ *x^2*\wurzel{t}\;dt[/mm]

Unter Verwendung der MBFaktorregel folgt:

[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]-\left \bruch{1}{2} \right \integral_{}^{} x^2*\wurzel{t}\;dt [/mm]

[mm]x^2=1-t[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]-\left \bruch{1}{2} \right*\integral_{}^{}(1-t)*\wurzel{t}\;dt=-\left \bruch{1}{2} \right*\integral_{}^{}(1-t)*t^{\left \bruch{1}{2} \right}\;dt[/mm]

Verwendet man nun die Partielle Integration, wobei ebenfalls die MBPotenzregel und wieder die Faktorregel Verwendung findet, so ergibt sich:

[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]-\left \bruch{1}{2} \right*\left[(1-t)*\left \bruch{2}{3} \right*t^{\left \bruch{3}{2} \right}-\integral_{}^{}(-1)*\left \bruch{2}{3} \right*t^{\left \bruch{3}{2} \right}\;dt\right]=-\left \bruch{1}{2} \right*\left[(1-t)*\left \bruch{2}{3} \right*t^{\left \bruch{3}{2} \right}+\left \bruch{4}{15} \right*t^{\left \bruch{5}{2} \right}\right][/mm]

[mm]t=1-x^2[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]-\left \bruch{1}{2} \right\left[(1-(1-x^2))*\left \bruch{2}{3} \right*(1-x^2)^{\left \bruch{3}{2} \right}+\left \bruch{4}{15} \right*(1-x^2)^{\left \bruch{5}{2} \right}\right][/mm]

[mm]=-\left\bruch{1}{2} \right\left[\left \bruch{2}{3} \right*x^2*(1-x^2)^{\left \bruch{3}{2} \right}+\left \bruch{4}{15} \right*(1-x^2)^{\left \bruch{5}{2} \right}\right]=-\left \bruch{1}{30} \right*(1-x^2)^{\left \bruch{3}{2} \right}\left[10x^2+4*(1-x^2)\right][/mm]

[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm] \integral_{}^}x^3*\wurzel{1-x^2}\;dx=-\left \bruch{1}{30} \right*(1-x^2)^{\left \bruch{3}{2} \right}\left[10x^2+4*(1-x^2)\right][/mm]

Fertig; das Integral ist durch die hier vorgeschlagende Substitution gelöst. Im Überigen ist eine ähnliche Substitution auch in der []Wikipedia beschrieben.
Diese erachte ich persönlich aber als hier nicht "so glücklich", da insbesondere der Denk- und Rechenaufwand zusätzlich stark steigt!


Hoffe, diese Ausführung hilft noch ein bisschen!



Mit lieben Grüßen

Goldener Schnitt
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Integration (Subst): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Mi 02.05.2007
Autor: Mafiose

danke für die Vorgeschlagene Lösungswege. WEnn ich dies so rechne, komm ich aufs gleiches ergebniss.
Nur ich habe in einer Formelsammlung folgendes gefunden

[mm] \integral{x³*\wurzel{a²-x²}) dx}=\bruch{1}{5}*\wurzel{(a²-x²)^5}-\bruch{a²}{3}*\wurzel{(a²-x²)^3} [/mm]

d.h. die Lösung müsste so aussehen:
[mm] \bruch{1}{5}*\wurzel{(1-x²)^5}-\bruch{1}{3}*\wurzel{(1-x²)^3} [/mm]
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Integration (Subst): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mi 02.05.2007
Autor: angela.h.b.


> WEnn ich dies so
> rechne, komm ich aufs gleiches ergebniss.

>  Nur ich habe in einer Formelsammlung folgendes gefunden...
> ...die Lösung müsste so aussehen:
>  
> [mm]\bruch{1}{5}*\wurzel{(1-x²)^5}-\bruch{1}{3}*\wurzel{(1-x²)^3}[/mm]

Hallo,

mit ein bißchen Rechnen kannst Du feststellen, daß beider Ergebnisse gleich sind.

Gruß v. Angela
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