Integration auf Quotienten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:38 Mo 21.12.2009 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich verstehe die Lebesgue Maß- und Integrationstheorie offenbar noch nicht so richtig. Ich habe folgendes Problem:
Angenommen
X = [mm] R^n/G [/mm]
ist der Quotientenraum von [mm] R^n [/mm] unter der Operation einer Permutationsgruppe G.
Es sei nun [mm] (R^n, [/mm] B, P) sei der borelscher Wahrscheinlichkeitsraum auf dem [mm] R^n [/mm] mit Wahrscheinlichkeitsmaß P, das invariant unter Operationen von G ist, d.h. P(x) = P(gx) für alle g [mm] \in [/mm] G.
1. Frage: Wie sieht denn dann der Wahrscheinlichkeitsraum auf X aus, der von [mm] R^n [/mm] induziert wird? Intuitiv würde ich eine abgeschlossene Menge M von [mm] R^n [/mm] konstruieren, die jeden Repräsentanten der Äquivalenzklassen von [mm] R^n/G [/mm] genau einmal enthält. Dann könnte man im Prinzip ganz normal die Borelschen Mengen auf M betrachten. Nur sehe ich das Problem, dass der Rand von M Repräsentanten einiger Elemente von X mehrfach enthalten könnte.
2. Frage: Angenommen ich habe ein Integral [mm] \integral_{X}f(x) [/mm] dx. Wie würde das Integral auf dem [mm] R^n [/mm] aussehen? Etwa [mm] \integral_{M}f(x) [/mm] dx, wobei M die abgeschlossene Menge von Frage 1 ist und wir einfach davon ausgehen dürfen, dass für die offene Menge [mm] M'\subset [/mm] M mit M [mm] \subset [/mm] cl(M')
[mm] \integral_{M}f(x) [/mm] dx = [mm] \integral_{M'}f(x) [/mm] dx
gilt, weil der Rand von M eine Nullmenge ist?
Danke und beste Grüße
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 25.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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