Integration bei stetiger Fkt. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:24 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
| Aufgabe | Seien [mm] a,b\in\IR [/mm] und [mm] f:[a,b]\mapsto\IC [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f(x)e^{-ikx} dx}=0 [/mm] .
Folgern Sie, dass für eine stückweise stetige [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktion [mm] f:\IR\mapsto\IC \limes_{k\rightarrow\infty}\hat{f}(k)=0 [/mm] gilt. |
Hallo.
Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Wie kann ich denn das Integral betrachten. Ich weiß ja gar nichts über f und warum sollte das 0 sein und beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich auch nicht, wie ich das so richtig zeigen soll. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
Habe die Frage schon in einem anderen Forum gepostet, aber leider keine brauchbare Antwort erhalten: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=79332
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
da [a,b] ein abgeschlossenes Intervall und f stetig, ist |f| beschränkt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
Hallo.
Das was du geschrieben hast, ist durchaus logisch und haben wir auch in der Vorlesung so behandelt, aber in wie weit hilft mir dass denn bei dieser Aufgabe weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Wenn f differenzierbar ist, wäre dann f' auch beschränkt und das ganze wäre bei partieller Integration trivial. Aber f muss nicht differenzierbar sein - Oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
Hallo.
Also wir haben den Satz "Jede stetige Funktion ist stetig differenzierbar". Also ist, da f eine stetige Funktion nach Voraussetzung ist, f stetig differenzierbar.
Hilft uns das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
diesen Satz so allgemein kenn ich zwar nicht aber angenommen f sei differenzierbar
und das Maximum von |f| in [a,b] = F und das Max von f' = F'
[mm]|\integral_{a}^{b}{f(x)e^{-ikx} dx}|= |f(x)\bruch{e^{-ikx}}{-ik^}[/mm][mm] |^{b}_{a}+\bruch{1}{ik}*\integral_{a}^{b}{f'(x)e^{-ikx} dx}| \le 2F\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k}*F'*(b-a)
[/mm]
und die rechte Seite konvergiert mit k gegen Null....
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:55 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
Super. Das macht Sinn und ist auch logisch und eigentlich auch ziemlich einfach, wenn man die richtige Idee hat Kannst du mir noch was zum anderen Teil dieser Aufgabe sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
da kann ich leider die Angabe nicht entziffern..... was ist das über dem f ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
Hallo.
Sei f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IC [/mm] integrierbar über [mm] [-\pi,\pi] [/mm] und [mm] 2\pi-periodisch. [/mm] Für [mm] k\in \IZ [/mm] heißt dann
[mm] \hat{f} [/mm] := [mm] 1/(2\pi) \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}
[/mm]
der k-ter Fourierkoeffizient.
Ist diese Aufgabe denn nicht trivial?
Ich soll [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \hat{f}(k) [/mm] = [mm] \limits_{k\rightarrow\infty} 1/(2\pi) \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx} [/mm] betrachten. Da das Integral für k -> [mm] \infty [/mm] gleich 0 wird ist doch dann auch das ganze gleich 0, oder sehe ich da jetzt wieder irgendetwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn f nur stückweise stetig ist, dann musst du [mm] [-\pi;\pi] [/mm] in endlich viele Intervalle unterteilen, in denen f stetig ist und in jedem dieser Intervalle strebt das Integral gegen 0 daher das Gesamtintegral als endl. Summe der Teilintegrale ebenfalls gegen 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
vielen dank.
dann habe ich das ja soweit doch verstanden.
bis zum nächsten mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dieser Satz ist garantiert falsch, du musst da was verwechselt haben. einfachstes Gegenbeispiel: die stetige fkt f(x)=|x|
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Do 03.05.2007 | | Autor: | toppy |
Stimmt. Das war ein Fehler meinerseits...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
da man aber nicht voraussetzen kann, dass die funktion differenzierbar ist, habe ich mir überlegt, dass die Besselsche Ungleichung helfen sollte hier die Herleitung... (vleieicht kannst du die für dienen Fall adaptieren)
[mm] a_{k}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}
[/mm]
und
[mm] S_{n}(t)=\summe_{k=-n}^{n}a_{k}*e^{-ikt}
[/mm]
dann gilt ja
[mm] 0\le|f(t)-S_{n}(t)|^2 [/mm] = [mm] (\overline{f}-\overline{S_{n}})*(f-S_{n})=|f|^2+\overline{S_{n}}*S_{n}-S_{n}*\overline{f}-\overline{S_{n}}*f
[/mm]
oder aber
[mm]-\overline{S_{n}}*S_{n}+S_{n}*\overline{f}+\overline{S_{n}}*f \le |f|^2 [/mm] (1)
[mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\overline{S_{n}}*S_{n}} [/mm] = [mm] \summe_{k;l=-n}^{n}a_{k}*\overline{a_{l}}*\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-ikt}*e^{ilt}}= \summe_{k=-n}^{n}|a_{k}|^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{S_{n}*\overline{f}}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\overline{S_{n}}*f} [/mm] = [mm] \summe_{k=-n}^{n} \overline{a_{k}}*\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}f(t)*e^{ikt}=\summe_{k=-n}^{n} |a_{k}|^2
[/mm]
Beide Seiten von (1) integriert und die Ergebnisse eingesetzt gibt:
[mm] \summe_{k=-n}^{n} |a_{k}|^2 \le \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}dx
[/mm]
der rechte ausdruck ist beschränkt daher mussen die Glieder der linken Reihe eine Nullfolge bilden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
um nicht mit komplexen fkt zu operieren würd ich erstmal
[mm] e^{-ikx}=cos(kx)-isin(kx) [/mm] zerlegen und die beiden Integrale einzeln betrachten.
Wenn du das Integral über eine Periode für grosse k betrachtest, dann ist f wegen der Stetigkeit darin praktisch konstant, (Periode [mm] \delta [/mm] , Abweichung der fktswerte [mm] <\varepsilon.
[/mm]
d,h, der neg und pos Teil von sin hebt sich "fast" auf!übrig bleibt maximal eine halbe Periode, da die aber immer schmaler wird geht ihr flächeninhalt auch gegen 0.
Die Idee musst du jetzt in [mm] \varepsilon, \delta [/mm] und k umsetzen, um zu zeigen, dass das für [mm] k>K_0 <\ein [/mm] vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Wäre ganz einfach, wenn f nicht eine komplexwertige Funktion ist!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Fr 04.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo wauwau
Danke! man sollte genauer die Aufgaben lesen! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Gruss leduart
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