Integration der Delta-Distr. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich komme mit der Integration der Deltafunktion in verschiedenen Grenzen gerade nicht mehr klar. Kann mir bitte jemand erklären, warum zwar
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{c \delta(R-r) dr}=c, [/mm] aber
[mm] \integral_{0}^{\infty}{c \delta(R-r) dr}=\bruch{c}{2} [/mm] ist (natürlich auch, wenn ich nur bis R integriere)
und außerdem
[mm] \integral_{-\infty}^{R}{c \delta(R-r) dr}=\bruch{c}{2}??
[/mm]
Ich verstehe nicht wo beide male die 1/2 herkommen. Entweder stehe ich gerade mal wieder vollkommend auf dem Schlauch oder ich weiß es einfach nicht mehr. Ich denke es gilt immer:
[mm] \integral_{a}^{c}{\delta(b)}=1, [/mm] solange a<=b<=c???
Ich hoff es kann mir jemand verständlich machen.
Mfg
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
> ich komme mit der Integration der Deltafunktion in
> verschiedenen Grenzen gerade nicht mehr klar. Kann mir
> bitte jemand erklären, warum zwar
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{c \delta(R-r) dr}=c,[/mm] aber
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{c \delta(R-r) dr}=\bruch{c}{2}[/mm] ist
> (natürlich auch, wenn ich nur bis R integriere)
> und außerdem
> [mm]\integral_{-\infty}^{R}{c \delta(R-r) dr}=\bruch{c}{2}??[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wo beide male die 1/2 herkommen.
Ich auch nicht, da kann ich dir nur beipflichten.
> Entweder stehe ich gerade mal wieder vollkommend auf dem
> Schlauch oder ich weiß es einfach nicht mehr. Ich denke es
> gilt immer:
> [mm]\integral_{a}^{c}{\delta(b)}=1,[/mm] solange a<=b<=c???
Nein, nur für $a<b<c$, für Randpunkte ist das nicht wohldefiniert. Es handelt sich nicht um ein Integral im üblichen Sinne (denn das wäre per Deifnition immer 0), sondern um eine spezielle Notation.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich habe diese Ergebnisse aus Mathematica. Ich kann auch gerne mal screenshots oder *.nb hochladen oder das ganze auf wolframalpha packen.
Gerade bin ich dabei mich auf Theoretische elektrodynamik vorzubereiten und dabei stoße ich in Lösungen zu Aufgaben auch immer auf diesen Fall. In den Lösungen in meinem Buch (Nolting) steht - in den oben genannten Fällen - auch diese 1/2 dabei.
Kann die vielleicht kommen, dass der interessante Punkt der Delta-Distribution gleichzeitig die Integrationsgrenze ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Julians89,
die Deltafunktion ist ja im klassischen Sinne keine Funktion, sondern eine Distribution, deren Verhalten man aus Grenzwertbetrachtungen bestimmen kann.
Ich nehme sehr stark an, dass die Gleichheit der Integralgrenze mit der Ausblendeigenschaft der Deltafunktion zu diesem Ergebnis führt. Eine mathematische Herleitung kann ich dazu eben nicht geben, meist führt eine Energiebetrachtung im Zeit- bzw. Frequenzbereich zu solch einer Lösung. Das Ganze dürfte aus praktischen Gesichtspunkten entstanden sein. Stelle Dir die zu einer durchgehenden Sinusfunktion gehörige Frequenzdarstellung vor mit zwei Dirac-Impulsen bei der positiven bzw. negativen Kreisfrequenz. Liegt die Filtergrenze eines idealen Tiefpasses mit unendlich steilen Flanken genau bei dieser Kreisfrequenz, was liefert das Filter dann als Ausgangssignal? Eine 0 oder kommt die volle Energie durch? In so einem Falle behilft man sich gerne mit dem Faktor 1/2. Ich kann eben nicht sagen, ob diese Antwort in Deinen Kontext passt, aber gesehen habe ich solche Sachen in meinem gut 30-jährigen Ingenieursleben schon mehr als einmal. Allerdings sollte dann auch eine Erklärung dabeistehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Julians89 |
Hey, danke schon mal an euch beide, für die Antworten. Ich habe zwar leider von Filtern keine Ahnung und kann die Argumentation deswegen nicht komplett nachvollziehen, aber es scheint mir dann wohl doch eher an den Integrationsgrenzen zu liegen, die man sich dann - der Schüssigkeit wegen- so definiert, dass man noch nen Faktor 1/2 mit dazubekommt. Gilt das generell, wenn ich die Integrationsgrenze als interessanten Punkt der Delta-Distribution habe??
MfG Julian
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Aber dann verstehe ich Beispiel 2 nicht, bei dem ich ja von 0 bis [mm] \infty [/mm] integriere. Da müsste dann ja c ohne das 1/2 rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Das ist wirklich dubios. Ist c eine Konstante, so kann ich das Ergebnis nicht verstehen, ist c von r abhängig, dann könnte es natürlich stimmen, es wäre dann der Wert c(R).
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Julians89 |
Ja, entschuldigung ich bin stillschweigend davon ausgegangen, dass c eine konstante ist, solange ich nicht c(r) schreibe. Der Fall [mm] \integral{f(x)*\delta{x-c} dx}= [/mm] f(c) ist imr geläufig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Julians89 |
Ich habe mich übrigens vertippt, sorry, das zweite Besipiel: Die untere Grenze ist nicht 0, sonder R.
Und ich glaube ich verstehe jetz auch, wo die 1/2 herkommt:
Da die Delta-Distribution symmetrisch ist kann ich schrieben:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}=2*\integral_{0}^{\infty}{\delta(x) dx}\equiv [/mm] 1, somit gilt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{delta(x) dx}=\bruch{1}{2},
[/mm]
dies gilt also immer, wenn ich mit einer Integrationsgrenze am kritischen Punkt bin. Liegt dieser in der Mitte, ist egal wie weit ich integriere, da mir die Delta-Distribution ja sowieso keinen Beitrag liefert. Somit kommt dann immer 1 raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 So 07.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe mich übrigens vertippt, sorry, das zweite
> Besipiel: Die untere Grenze ist nicht 0, sonder R.
> Und ich glaube ich verstehe jetz auch, wo die 1/2
> herkommt:
> Da die Delta-Distribution symmetrisch ist kann ich
> schrieben:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}=2*\integral_{0}^{\infty}{\delta(x) dx}[/mm]
Nein, da das mathematisch keinen Sinn ergibt. Das ist kein Integral, sondern nur eine Notation, die andeuten soll, dass es sich hier um einen Grenzwert einer Folge von Integralen handelt.
Aber das hat die Physiker noch nie dran gehindert es zu tun 
Viele Grüße
Rainer
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