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Hallo
Ich soll folgendes Integral durch Substitution berechnen:
[mm] \integral_{0}^{ \pi^{2}} [/mm] { [mm] \bruch{sin(2) \wurzel{x}}{ \wurzel{x}} [/mm] dx}
wie geht das ? Die Substitutionsregel ist mir leicht schleierhaft. Da heisst es ja:
u' * u = blablabla
ich seh aber nicht wo sin(2) [mm] \wurzel{x} [/mm] die ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] ist oder umgekehrt.
Kann mir da mal jemand auf die sprünge helfen ?
Mfg
martin
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Hallo
das was du da mit v´ und u geschrieben hast sind keine Integrationsregeln, sondern Teile von Ableitungsregeln! Du bist damit aber schon auf dem richtigen Weg.
Aber kann es sein, dass du die Aufgabe etwas falsch abgeschrieben hast? Denn bei dem Funktionsterm frag ich mich warum du [mm] \wurzel{x} [/mm] nich wegkürzt?!
Hier brauchst du garkeine Substitution anzuwenden.
MfG
PS: Etwas anderes wäre es bei dem Funktionsterm $ [mm] \bruch{sin \wurzel{x}}{ \wurzel{x}} [/mm] $
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Hi Johannes
auf die Idee bin ich natürlich auch gekommen aber das problem ist das die aufgabenstellung explizit vorgibt das hier die Substitutionsregel anzuwenden ist. Ich versteh es ja selbst nicht warum man das so machen soll ..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Martin
ich würde fast wetten, du hast dich bei der Wiedergabe der Aufgabe vertippt. Das sollte wohl eher so aussehen:
[mm] $\integral_{0}^{\pi^{2}}\bruch{\sin(2\wurzel{x})}{\wurzel{2}}\, [/mm] dx$
Ich denke, die Herren Mathelehrer machen aus dieser einfachen Sache (Substitutionsmethode) durch das komplizierte Beschreiben auch tätsächlich etwas sehr Schwieriges.
In der Tat handelt es sich aber um etwas sehr Einfaches:
Man schaut, ob irgendwo ein krummer Ausdruck vokommt und versucht diesen durch eine Funktion zu ersetzen.
Wenn es also zum Beispiel einmal heisst:
[mm] $\integral{f(\wurzel{x})}\, [/mm] dx$
dann stört diese Wurzel. Und die eliminierst du doch einfach, indem du
$x := [mm] u^{2}$ [/mm] einsetzt.
Jetzt muss man das nur noch nach $x_$ ableiten und nach $dx_$ auflösen, um auch das $dx_$ ersetzen zu können.
Hier also: [mm] $\bruch{dx}{du}=2u$
[/mm]
Das nach $dx_$ umgestellt: $dx=2u*du_$
Womit sich ergibt:
[mm] $\integral{f(\wurzel{x})}\dx=$\integral{f(u)}*2u \, [/mm] du$
Kannst du so einmal etwas weiter fahren?
Beachte dabei aber auch die Integrationsgrenzen!
Sorry, ich muss weg, das Nachtessen wartet!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo
also zuerst mal zu euren Annahmen das die aufgabe falsch abgeschrieben wurde. Sie ist richtig. Ich habe es mehrfach überprüft. Es soll integriert werden in den grenzen Pi zum quadrat bis Null.
Die funktion lautet:
sinus von 2 mal wurzel aus x
geteilt durch
wurzel aus x
Das einzige was nicht eindeutig ist wäre : sinus von 2 mal wurzel aus x
denn es ist folgendermaßen geschrieben:
sin2 [mm] \wurzel{x}
[/mm]
und ich kann nicht sagen ob es so gemeint ist:
sin(2) [mm] \wurzel{x}
[/mm]
oder so
sin(2 [mm] \wurzel{x})
[/mm]
Denn es geht einfach nicht aus der aufgabe hervor.
An Paul: Danke für deine Erklärung aber: ich versteh wirklich nicht viel von dem was du erklärt hast so leid es mir tut  Habs mehrmals gelesen aber ich kann es nicht auf meine aufgabe übertragen oder wie auch immer .....
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ahh gut sie wird dann wohl sin (2 [mm] \wurzel{x} [/mm] ) lauten, anders macht das keinen Sinn, dann könntest du das wie gesagt wegkürzen und müsstest nrncoh eine Stammfunktion zu sin 2 finden was ja nciht soooo schwer ist. ich hoffe meine antwort hilft dir etwas weiter , also die andere, hab mir nämlich viel Mphe gegeben. hehe
Grüße Johannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
also, ich rechne es dir mal vor:
[mm] $\integral_{0}^{\pi^{2}}\bruch{\sin{(2\wurzel{x})}}{\wurzel{x}}\, [/mm] dx$
Da gefällt doch [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] überhaupt nicht, deshalb substituiere ich es weg:
[mm] $\wurzel{x}=u$
[/mm]
oder [mm] $x=u^{2}$
[/mm]
$x_$ ist also eine Funktion von $u_$, ich kann also diese Funktion nach $u_$ ableiten:
[mm] $\bruch{dx}{du}=2u$
[/mm]
Das nach $dx_$ umgestellt:
$dx=2u*du$
Dann wird das Integral so:
[mm] $\integral{\bruch{\sin(2u)}{u}*2u\, du} [/mm] = [mm] \integral{2*\sin(2u)\, du}$
[/mm]
Und die Integrationsgrengen?
$u_$ ist ja [mm] $\wurzel{x}$
[/mm]
Weil $x _$ von $0_$ bis [mm] $\pi^{2}$ [/mm] laüft, läuft $u_$ von $0_$ bis [mm] $\pi$ [/mm] (einfach jeweils die Wurzel gezogen).
Also heisst das Integral so:
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{2*\sin(2u)\, du}$
[/mm]
So, damit wir nicht aus der Übung kommen, substituieren wir gleich noch ein Mal:
$t=2u_$ resp. [mm] $u=\bruch{t}{2}$
[/mm]
Auch hier wieder nach $t_$ ableiten:
[mm] $\bruch{du}{dt}=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Das nach $du_$ umgestellt: [mm] $du=\bruch{1}{2}dt$
[/mm]
Wenn $u_$ von $0_$ bis [mm] $\pi$ [/mm] läift, dann läuft $t_$ von $0_$ bis [mm] $2\pi$
[/mm]
Somit:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi}{2*\sin(t)*\bruch{1}{2}\, dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\sin(t)\, dt}=0$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hi nochmal
das was Paul geschrieben hat könnte natürlich sein, dann müsstest du aber die etwas kompliziertere Substitution von Links nach Rechts anwenden. Ich weiß jetzt nicht in wie weit ihr Integration via Substitution behandelt habt, aber ich geb dir mal ein einfaches Beispiel für die Substitution von Links nach Rechts:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { 2x³( [mm] x^{4} [/mm] +2) ^4 dx}
So hier hast du zunächst ja ein Problem. Und zwar eine Stammfunktion von dem Funktionsterm zu finden. Du könntest natürlich das ganze Ausmultiplizieren, bei ^4 könnte das noch gehen, aber was wenn da hoch 51 stände? Deswegen müssen wir uns etwas anderes überlegen.
Wir machen einen kleinen Exkurs zu den Ableitungsregeln:
Wir betrachten die Funktion die hier gegeben ist als Verkettung zweier Funktionen g [mm] \circ [/mm] h.
Also ist unser Funktionsterm: f(x)=g(h(x)).
Dann ist doch nach der Verkettungsregel f'(x)=g'(h)*h'(x).
das musst du verinnerlichen. Also innere Ableitung mal äußere Ableitung.
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { 2x³( [mm] x^{4} [/mm] +2) ^4 dx}
Bei diesem Term haben wir doch genau diese Form!
Wir haben die Funktion g und h.
g(t)= [mm] t^{4}
[/mm]
h(x)= [mm] x^{4} [/mm] +2
und der Rest davor also das 2x³ ist die innere Ableitung.
Aber Moment 2x³ ist nicht die innere Ableitung. Die innere Ableitung ist 4x³ also schreiben wir das ganze etwas um:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { 4x³( [mm] x^{4} [/mm] +2) ^4 dx}
aber nun ist das ganze ja etwas völlig anderes. Nämlich das doppelte. Wir gleichen das also aus durch den Faktor 1/2 also:
1/2* [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { 4x³( [mm] x^{4} [/mm] +2) ^4 dx}
Und jetzt kommt die eigentlich Substitution. Die Regel und deren Herleitung kann ich dir hier allerdings nicht komplett aufschreiben, das würde etwas lange dauern.... ;) aber es ist ganz einfach, eigentlich.
Wir errinern uns die äußere Funktion war doch g(t)= [mm] t^{4} [/mm] !
Wir substituieren jetzt zunächst den Funktionsterm durch diese Funktion:
1/2* [mm] \integral_{2}^{3} [/mm] { [mm] t^{4} [/mm] dt}
Dir ist sicher aufgefallen, dass ich die Grenzen des Intervalls etwas geändert habe. Das musst du natürlich. Du setzt deine alten Grenzen in h(x) ein und erhälst die Neunen:
Also h(0)=2 und h(1)=3.
zu der Funktion [mm] t^{4} [/mm] eine Stammfunktion zu finden dürfte dir nicht allzu schwer fallen.
Du kannst ja dein Ergebniss hier posten, also das von der ganzen Rechnung. ;)
Viel Spaß weiterhin beim Substituieren. Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß Johannes
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