Integration durch Substitution < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^6}{\wurzel{1-x^6}} dx} [/mm] |
Dies ist eine Klausuraufgabe und der Taschenrechner spuckt mir folgendes Ergebnis aus : [mm] \bruch{1}{3}*sin(x^3)
[/mm]
Doch egal was ich bisher gemacht habe kam ich nie auf dieses Ergebnis.
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Hallo lotusbluete,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^6}{\wurzel{1-x^6}} dx}[/mm]
> Dies ist
> eine Klausuraufgabe und der Taschenrechner spuckt mir
> folgendes Ergebnis aus : [mm]\bruch{1}{3}*sin(x^3)[/mm]
> Doch egal was ich bisher gemacht habe kam ich nie auf
> dieses Ergebnis.
Das Ergebnis ist irgendwie seltsam. Wenn man das wieder ableitet, erhält man [mm]x^2\cos\left(x^3\right)\ne\tfrac{x^6}{\sqrt{1-x^6}}[/mm].
Substituiert man für [mm]x\![/mm] folgendes: [mm]x(z):=\sqrt[3]{\sin(z)}[/mm], vereinfacht sich der Term zu [mm]\textstyle\frac{1}{3}\int{\sin(z)^{4/3}\,\operatorname{d}\!z}[/mm]. Funktionen wie [mm]\textstyle\int{\sqrt{\sin(z)}\,\operatorname{d}\!z}[/mm] kann man z.B. nicht geschlossen darstellen. Und ich denke, das ist hier auch der Fall.
Gruß V.N.
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Mir ist da ein Fehler unterlaufen das Ergebnis ist falsch, welches ich angegeben habe. Das richtige Ergebnis lautet: [mm] \bruch{1}{3}arcsin(x^3)
[/mm]
Sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lotusblüte!
Das kann aber auch nicht stimmen, da sich dann als Ableitung [mm] $\bruch{x^{\red{2}}}{\wurzel{1-x^6}}$ [/mm] ergibt.
Gruß vom
Roadrunner
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Es tut mir wirklich Leid heute ist wohl nicht mein Tag. Die Aufgabe lautet [mm] auch:\integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^6}} dx}
[/mm]
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Hallo lotusblüte!
Okay. Dann ist der Weg auch machbar ... 
Um auf das genannte Ergebnis zu kommen, musst Du substituieren:
[mm] $$x^3 [/mm] \ := \ [mm] \sin(u)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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