Integration durch Substitution < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=e^\wurzel{x}
[/mm]
Das Integral [1;2] soll berechnet werden. |
Moin!
Ich bin mir leider nicht mehr so sicher, was die Integration durch Substitution angeht, und würde mich daher über eure Antworten freuen.
Soweit ich weiß:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}
[/mm]
Das jetzt auf die Aufgabe angewand, würde bedeuten: [mm] f(g(x))=e^\wurzel{x} [/mm] und [mm] g'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Also ergänze ich noch das "fehlende" g'(x):
[mm] \Rightarrow F(x)=2\wurzel{x}\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2\wurzel{x}}e^\wurzel{x}}dx
[/mm]
So jetzt würde ich "substituieren" mit
[mm] t:=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2t\integral_{\wurzel{1}}^{\wurzel{2}}{e^t dt}
[/mm]
So und das "2t" vor dem integral macht mich jetzt ein bissel stutzig.... weiß nämlich nicht, ob das richtig alle so ist, wenn ja müsst man das intergral so berechnen???:
[mm] 2\wurzel{2}*e^\wurzel{2} [/mm] - [mm] 2\wurzel{1}*e^\wurzel{1}
[/mm]
Grüße Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Alexlysis!
Du kannst nicht einfach mit der Integrationsvariable "erweitern" bzw. dieses vor das Integral schreiben.
Gehe vor wie folgt:
$$u \ := \ \wurzel{x}$$
$$u' \ = \ \bruch{du}{dx} \ = \ \bruch{1}{2*\blue{\wurzel{x}}} \ = \ \bruch{1}{2*\blue{u}}$$
$$\Rightarrow \ \ dx \ = \ 2u*du$$
Damit erhältst Du folgendes Integral, welches man mittels partieller Integration lösen kann:
$$\integral{e^{\wurzel{x}} \ dx} \ = \ ... \ = \ \integral{2u*e^u} \ du}$$
Gruß
Loddar
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ok !
wobei beim letzten integral die grenzen verändert sind oder?
[mm] \integral_{\wurzel{a}}^{\wurzel{b}}{2u*e^u du}
[/mm]
hoffe die frage ist jetzt nich allzudumm, aber woher kommt das:
[mm] u'=\bruch{du}{dx}
[/mm]
??
glaube dass das stimmt, aber ne herleitung oder so würde mich sehr befriedigen, ihc mag es nich einfahc irgendwas hinzunehmen  und dann stumpf anzuwenden
gruß alex
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Hallo, wenn du ein Integral durch Substitution lösen möchtest, so ist es einfacher, die Grenzen 1 und 2 erst dann wieder zu benutzen, wenn du die Rücksubstitution gemacht hast, du hast doch substituiert [mm] u:=\wurzel{x} [/mm] davon ist die Ableitung zu bilden [mm] u'=\bruch{du}{dx}, [/mm] es ist also nach x abzuleiten, Steffi
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