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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
a)Gib [mm] D_f [/mm] an und zeige, dass [mm] G_f [/mm] punktsymetrisch zum Ursprung ist und monoton steigt!
b) Wie lautet die Umkehrfunktion zu f?
c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der x-Achse zwischen Ursprung und der Ordinate zu [mm] x=\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] einschließt! |
Hallo,
a)
[mm] 1-x^2 [/mm] > 0
[mm] 1>x^2
[/mm]
--> [mm] D_f=]-1;1[
[/mm]
f(-x) = [mm] \bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}}=-f(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{\wurzel{1-x^2}-2x^2*\bruch{1}{2}(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}}{1-x^2}
[/mm]
da immer [mm] x^2 [/mm] --> positiv
b) ich muss [mm] y=\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] nach x auflösen und dann x mit y vertauschen.
[mm] 1-x^2=\bruch{x^2}{y^2}
[/mm]
nur verstehe ich nicht, wie ich nun weiter nach x auflösen muss.
c) Ich brauche eine Stammfunktion. Hierfür:
[mm] t=1-x^2
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx}=-2x
[/mm]
[mm] dx=-\bruch{dt}{2x}
[/mm]
--> [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{t}}*(-\bruch{dt}{2x})} [/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t}}dt}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}(2t^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
[mm] =-\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Ich denke, irgendwo steckt ein Fehler :(
Würde mich freuen, wenn jemand kurz drüberschauen könnte!
mfg, michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 10.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> a)Gib [mm]D_f[/mm] an und zeige, dass [mm]G_f[/mm] punktsymetrisch zum
> Ursprung ist und monoton steigt!
> b) Wie lautet die Umkehrfunktion zu f?
> c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph
> mit der x-Achse zwischen Ursprung und der Ordinate zu
> [mm]x=\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] einschließt!
> Hallo,
>
> a)
> [mm]1-x^2[/mm] > 0
> [mm]1>x^2[/mm]
>
> --> [mm]D_f=]-1;1[[/mm]
O.K.
>
> f(-x) = [mm]\bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}}=-f(x)[/mm]
O.K.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\wurzel{1-x^2}-2x^2*\bruch{1}{2}(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}}{1-x^2}[/mm]
>
> da immer [mm]x^2[/mm] --> positiv
Die ableitung ist nicht richtig ! Richtig:
$ [mm] f'(x)=\bruch{\wurzel{1-x^2}+2x^2\cdot{}\bruch{1}{2}(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}}{1-x^2} [/mm] $
>
> b) ich muss [mm]y=\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] nach x auflösen
> und dann x mit y vertauschen.
>
> [mm]1-x^2=\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
>
> nur verstehe ich nicht, wie ich nun weiter nach x auflösen
> muss.
Das ist doch eine quadratische Gleichung für x
>
> c) Ich brauche eine Stammfunktion. Hierfür:
>
> [mm]t=1-x^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{dt}{dx}=-2x[/mm]
> [mm]dx=-\bruch{dt}{2x}[/mm]
>
> -->
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{t}}*(-\bruch{dt}{2x})}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t}}dt}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}(2t^{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
> [mm]=-\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> Ich denke, irgendwo steckt ein Fehler :(
nein, Deine Stammfunktion stimmt
FRED
>
> Würde mich freuen, wenn jemand kurz drüberschauen
> könnte!
>
> mfg, michael
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> >
> > [mm]1-x^2=\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
> >
> > nur verstehe ich nicht, wie ich nun weiter nach x auflösen
> > muss.
>
>
> Das ist doch eine quadratische Gleichung für x
Hallo, danke für deine Antwort!
Irgnd wie hab ich gerade echt ne Blockade^^
angenommen ich bringe [mm] y^2 [/mm] auf die andere Seite, dann muss ich doch ausmultiplizieren. Dann komme ich doch auch nicht wirklich weiter. Bringe ich [mm] x^2 [/mm] auf die andere Seite, muss ich den Hauptnenner bilden oder?
mfg, Michael
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Hallo Michael,
> > >
> > > [mm]1-x^2=\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
> > >
> > > nur verstehe ich nicht, wie ich nun weiter nach x auflösen
> > > muss.
> >
> >
> > Das ist doch eine quadratische Gleichung für x
>
> Hallo, danke für deine Antwort!
>
> Irgnd wie hab ich gerade echt ne Blockade^^
>
> angenommen ich bringe [mm]y^2[/mm] auf die andere Seite, dann muss
> ich doch ausmultiplizieren. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dann komme ich doch auch nicht
> wirklich weiter.
Wieso nicht?
> Bringe ich [mm]x^2[/mm] auf die andere Seite, muss
> ich den Hauptnenner bilden oder?
[mm] $1-x^2=\frac{x^2}{y^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2\cdot{}(1-x^2)=x^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2-x^2y^2=x^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2=x^2+x^2y^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2=x^2\cdot{}(1+y^2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2=\frac{y^2}{1+y^2}$
[/mm]
>
> mfg, Michael
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 10.03.2010 | | Autor: | DjHighlife |
oh mann, wie kann man das übersehen....
Vielen Dank!
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