Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Führen Sie durch Substitution das Integral I(z)= [mm] \integral_{1}^{z}{sin(lnx)dx} [/mm] für [mm] z\ge1 [/mm] auf ein Integral der Form [mm] \integral_{a}^{b}{e^y*sinydy } [/mm] zurück und geben Sie I(z) an. |
Moin Moin:)
Sitz grad an der obigen Aufgabe und muss sagen, dass Integration durch Substitution nich mein Ding ist. xD Ich mach lieber partielle Integration. Naja nichtsdestotrotz hab ich's mal versucht, bin aber nicht weit gekommen. Also denke mal das lnx stört in der Gleichung, also ist t=lnx und dx=dt/lnx. Das kommt doch jetzt in die Gleichung,aber wie?
Bräuchte mal einen Anstoß^^
Danke schon mal im Voraus.
Gruß David
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Mit $t \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] gilt doch $dx \ = \ x*dt$ .
Dies nun einsetzen. Bedenke zudem, dass gilt: $x \ = \ [mm] e^t$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
Sorry hasse das Thema. Wenn dx=x*dt wo ist denn dann das lnx? Und wenn ich das dann einsetze heißt das doch [mm] \integral_{1}^{z}{sin(t)*e^t dt} [/mm] oder? Is sicher falsch xD
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David,
> Sorry hasse das Thema. Wenn dx=x*dt wo ist denn dann das
> lnx? Und wenn ich das dann einsetze heißt das doch
> [mm]\integral_{1}^{z}{sin(t)*e^t dt}[/mm] oder?
Das stimmt bis auf die Grenzen!
Du musst die Grenzen in x, also $x=1$ und $x=z$ in Grenzen in $t$ ausdrücken ...
Dazu nutze die Beziehung, die wegen der Substitution gilt: [mm] $t=\ln(x)$
[/mm]
> Is sicher falsch xD
> Gruß David
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
Dann müstte es heißen [mm] \integral_{1}^{lnx}{sin(t)e^t dt}
[/mm]
:)
|
|
|
| |
|
Hallo, fast, eventuell ist es ja nur ein Schreibfehler, untere Grenze ist ln(1), also 0, so jetzt ran an die zweimalige partielle Integration, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
ok das integral steht jetz, also wenn ich jetzt I(z) ausrechnen will muss ich zweimal partiell integrieren. Aber vorher hab ich noch ne frage: warum is denn [mm] x=e^t?
[/mm]
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo, du hattest doch
t=ln(x)
[mm] t=log_e(x)
[/mm]
nun bemühe mal die Definition vom Logarithmus
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe:) gut dann kann ich ja jetzt partiell integrieren^^ [mm] \integral_{0}^{lnx}{sin(t)*e^t dt}, [/mm] davon wähle ich [mm] u'=e^t [/mm] und v=sin(t) und [mm] u=e^t [/mm] und v'=cos(t), dann ist das Integral [mm] e^t*sin(t)-\integral_{0}^{lnx}{e^t*cos(t) dt} [/mm] und das letzte Integral muss man jetzt nochmal partiell integrieren, das heißt: v=cos(t), v'=-sin(t) und [mm] u'=e^t, u=e^t, [/mm] also heißt dieses Integral [mm] e^t*cos(t)-\integral_{0}^{lnx}{e^t*-sin(t)dt} [/mm] das Minus kann man vor das Integral ziehen also heißt das [mm] e^t*cos(t)+\integral_{0}^{lnx}{e^t*sin(t)dt} [/mm] und der gesamte Term [mm] \integral_{0}^{lnx}{sin(t)*e^t dt}= e^t*sin(t)-e^t*cos(t)- \integral_{0}^{lnx}{e^t*sin(t)dt} [/mm] :) müsste stimmen...theoretisch kann man doch die partielle Integration ewig weiter durchführen oder nich? Andererseits kann man das auch umformen zu [mm] 2*\integral_{0}^{lnx}{sin(t)*e^t dt}=e^t*sin(t)-e^t*cos(t)
[/mm]
das is jetzt so gesehen die Stammfunktion nicht?Also ich kann jetz ganz normal die <grenzen einsetzen und dann hab ich I(z) richtig? Oder muss ich noch irgendetwas zurück substituieren?:O
Gruß David
|
|
|
| |
|
hallo, alles perfekt gelöst, teile aber noch durch 2, dann Grenzen einsetzen, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
Ok super^^ danke für deine Hilfe...hab übrigens folgendes raus: I(z)=1/2(xsin(lnx)-xcos(lnx)+1) :)
Kannst mir ja noch wenn du Zeit hast ne kleine Rückmeldung machen;)
danke nochmal:)
Gruß david
|
|
|
| |
|
Hallo, irgendwo hast du jetzt etwas den Überblick verloren, ich denke, bei deinen Grenzen, wir hatten
[mm] \bruch{1}{2}e^t*sin(t)-\bruch{1}{2}e^t*cos(t) [/mm] mit den Grenzen 0 und ln(z) bei dir steht plötzlich x
[mm] =\bruch{1}{2}e^{ln(z)}*sin[ln(z)]-\bruch{1}{2}e^{ln(z)}*cos[ln(z)]-(\bruch{1}{2}e^0*sin[0]-\bruch{1}{2}e^0*cos[0])
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}e^{ln(z)}*sin[ln(z)]-\bruch{1}{2}e^{ln(z)}*cos[ln(z)]-\bruch{1}{2}e^0*sin[0]+\bruch{1}{2}e^0*cos[0]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}z*sin[ln(z)]-\bruch{1}{2}z*cos[ln(z)]-\bruch{1}{2}*1*0+\bruch{1}{2}*1*1
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}z*sin[ln(z)]-\bruch{1}{2}z*cos[ln(z)]+\bruch{1}{2}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 26.01.2011 | | Autor: | David90 |
Oh ja klar...sone dummen Fehler, passieren mir dann bestimmt auch in der Klausur-.- dein Ergebnis is ja dasselbe wie meins, nur anstatt dem x ein z...dummer Fehler von mir, sorry. Danke für deine Hilfe, echt super^^
Lieben Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo, viel Erfolg bei deiner Klausur, ich habe bei dir die 1 gesehen, habe ich als falsch angesehen, aber du hast ja korrekt Klammern gesetzt, wer genau liest ist klar im Vorteil, Steffi
|
|
|
|
