Integration durch Substitution < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 27.05.2013 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{2\pi + x cos(x)}{4\pi + (2x-\pi) cos(x)} dx} [/mm] |
Hallo,
wie kann man das integrieren?
Geht es mit Substitution?
Allerdings funktioniert das bei mir nicht, da bei mir die x nie wegfallen.
Wenn es mit Substitution funktioniert, was muss ich substituieren?
MfG haner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 27.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
man könnte eine Partialbruchzerlegung durchführen, was aber wieder auf einen Summand führt, der sich m.E. nicht integrieren lässt. Da auch diverse CAS keine Stammfunktion finden, wirst Du wohl am besten damit beraten sein das Integral numerisch zu berechnen. Die Trapezregel z.B. ist ein einfaches und recht zuverlässiges Verfahren.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 27.05.2013 | | Autor: | haner |
Schonmal danke, aber Partialbruchzerlegung und Trapezregel haben wir beides noch nicht gemacht, da muss es noch eine andere Lösungsmöglichkeit geben.
MfG haner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 27.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Schonmal danke, aber Partialbruchzerlegung und Trapezregel
> haben wir beides noch nicht gemacht, da muss es noch eine
> andere Lösungsmöglichkeit geben.
Nur weil das noch nicht behandelt wurde, heißt das nicht dass es ohne weitere Methoden funktioniert.
Ich will Dich in Deinem Eifer nicht bremsen, aber wenn selbst Mathematica keine Stammfunktion findet stehen die Chancen nicht so hoch, dass Du eine findest.
Falls doch, bin ich gespannt auf die Lösung.
>
> MfG haner
Gruß,
notinX
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Hallo haner,
> Schonmal danke, aber Partialbruchzerlegung und Trapezregel
> haben wir beides noch nicht gemacht, da muss es noch eine
> andere Lösungsmöglichkeit geben.
>
Nutze die Symmetrieeigenschaft des Integranden aus.
> MfG haner
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 27.05.2013 | | Autor: | haner |
Puuuh, was meinst du damit genau?
MfG haner
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Hallo haner,
> Puuuh, was meinst du damit genau?
>
Betrachte den Wert des Integranden
an den Stellen x und [mm]\pi-x[/mm] .
> MfG haner
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 27.05.2013 | | Autor: | haner |
Aber was kann ich damit aussagen?
Ich soll doch den Wert des Integrals berechnen.
MfG haner
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Hiho,
der Tipp zielt auf folgendes ab:
Was weißt du über Integrale von ungerade Funktionen, deren Integrationsgebiete zu gleichen Teilen links und rechts von der Null liegen?
Also bspw:
[mm] $\int_{-c}^c\sin(x)\;dx$ [/mm] oder [mm] $\int_{-c}^c x^3\;dx$?
[/mm]
Deren Wert kannst du ja bestimmen ohne das Integral auszurechnen! Nur durch Ausnutzen des Tatsache, dass der Integrand ungerade ist.
Betrachte dann:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{2\pi + x cos(x)}{4\pi + (2x-\pi) cos(x)} - \bruch{1}{2}dx} [/mm] $
und substituiere $z = [mm] \left(x - \bruch{\pi}{2}\right)$.
[/mm]
Zeige, dass der entstehende Integrand ungerade ist und berechne daraus dein Integral.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 28.05.2013 | | Autor: | haner |
Betrachte dann:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{2\pi + x cos(x)}{4\pi + (2x-\pi) cos(x)} - \bruch{1}{2}dx} [/mm] $
und substituiere $ z = [mm] \left(x - \bruch{\pi}{2}\right) [/mm] $.
Ok, dass das ganze ein ungerader Integrand ist habe ich bewiesen. Aber das bringt mich nicht viel weiter, da die Integrationsgrenzen hier v0n null bis pi gehen. Wären sie von -pi bis pi, so wäre der Integrant null. Aber wie ist es hier?
Woher kommt das - [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
MfG haner
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Hiho,
> Ok, dass das ganze ein ungerader Integrand ist habe ich
> bewiesen. Aber das bringt mich nicht viel weiter, da die
> Integrationsgrenzen hier v0n null bis pi gehen.
Bei der Substitution passen sich die Integrationsgrenzen an!!
> Woher kommt das - [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Das brauchst du, damit das ganze wirklich eine ungerade Funktion wird.
Das hab ich "hingezaubert", damit du was berechnen kannst.
Mit dem Ergebnis kannst du dann aber sofort dein gewünschtes Integral berechnen.
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 28.05.2013 | | Autor: | haner |
Aber wie komme ich darauf das -0,5 einfach abzuziehen, da muss es doch eine richtige Begründung geben. Wenn ich das richtig sehe wird es ja um 0,5 nach unten verschoben, sodass es punktsymmetrisch zu (pi/2 / 0) ist. Aber damit wird doch die Funktion über die integriert werden soll verändert?
Dieses z kommt doch garnicht in meinem Interganten vor, wie kann ich es dann substituieren? $ z = [mm] \left(x - \bruch{\pi}{2}\right) [/mm] $
MfG haner
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Hiho,
> Aber wie komme ich darauf das -0,5 einfach abzuziehen, da
> muss es doch eine richtige Begründung geben. Wenn ich das
> richtig sehe wird es ja um 0,5 nach unten verschoben,
> sodass es punktsymmetrisch zu (pi/2 / 0) ist. Aber damit
> wird doch die Funktion über die integriert werden soll
> verändert?
Die Begründung ist einfach die, die Funktion so umzuformen, dass was bekanntes herauskommt.
Du hast natürlich recht, dass sich das Integral durch das Abziehen von 0,5 ändert, aber diese Änderung kannst du doch ausrechnen!
Ein bisschen Eigenbedarf im Denken sollte schon drin sein.
Wenn du [mm] $\integral_a^b [/mm] f(x) [mm] \,dx$ [/mm] bestimmen möchtest, aber nur das Ergebnis von [mm] $\integral_a^b [/mm] f(x) - [mm] \bruch{1}{2}\,dx$ [/mm] kennst, wie kommst du dann wohl von einem aufs andere.....
> Dieses z kommt doch garnicht in meinem Interganten vor, wie
> kann ich es dann substituieren? [mm]z = \left(x - \bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
Du sollst nicht z substituieren, sondern [mm] $x-\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Und bevor du jetzt wieder kommst mit "Dieses [mm] $x-\bruch{\pi}{2}$ [/mm] kommt doch gar nicht in meinem Integranden vor": $x = x - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Oder kürzer: Ersetze jedes x durch [mm] $z+\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und passe die Integrationsgrenzen an.
Und wie du dann schon korrekt festgestellt hast, erhälst du dann eine ungerade Funktion (weil du den Integranden ja von "punktsymmetrisch zu [mm] $\left(\bruch{\pi}{2},\bruch{1}{2}\right)$" [/mm] zu "punktsymmetrisch zu [mm] $\left(0,0\right)$" [/mm] umgebaut hast).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 28.05.2013 | | Autor: | haner |
Das Ergebnis des Integranten ist doch dann null?!, da f(u) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Die vorherige Verschiebung um 0.5 nach unten muss ich dann doch gar nicht beachten, oder?
MfG haner
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Hiho,
> Das Ergebnis des Integranten ist doch dann null?!, da f(u) punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die vorherige Verschiebung um 0.5 nach unten muss ich dann doch gar nicht beachten, oder?
Die Verschiebung ändert doch den Wert des Integrals!!
Es gilt also:
[mm] $\integral_0^\pi [/mm] f(x) - [mm] \bruch{1}{2}\,dx [/mm] = 0$ und damit [mm] $\integral_0^\pi f(x)\,dx [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 28.05.2013 | | Autor: | haner |
Demnach muss das Erbegnis [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sein?
MfG haner
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Hiho,
> Demnach muss das Erbegnis [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2} dx}[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 28.05.2013 | | Autor: | haner |
Vielen Dank für Deine super Hilfe.
MfG haner
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