Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In meinem Mathebuch steht, wie ich mir folgende Funktion durch Substitution herleite:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
z=x²+1
[mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x => [mm] dx=\bruch{dz}{2x}
[/mm]
bei [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{2x}{x²+1} [/mm] dx wird der Term (x²+1) durch z und dx durch [mm] \bruch{dz}{2x} [/mm] ersetzt =>
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{2x}{\wurzel{z}} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{2x}
[/mm]
2x kann man nun kürzen= [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{z}}
[/mm]
dz = [mm] 2*\wurzel{z} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] +c
Meine Frage ist nun woher das 2* nun kommt? bzw. wieso man [mm] 1/\wurzel{z} [/mm] mal 2 nimmt.
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Sorry Fehler in der Angabe die Ursprüngliche Funktion, die man integrieren soll lautet so:
[mm] \bruch{2x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> In meinem Mathebuch steht, wie ich mir folgende Funktion
> durch Substitution herleite:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{2x}{x²+1}[/mm]
> z=x²+1
-----------------------------------------------------------
Deine krause Schreibweise kommt wohl daher, dass du mit dem Formeleditor nicht klar kommst. Deshalb:
nicht [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
Du musst in der Kopie des Musters in der Klammer {f(x) dx} das f(x) durch den Funktionsterm [mm] \bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] ersetzen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}} dx} [/mm]
(Wenn du den Cursor einen Moment über das integral hältst, erscheint die Eingabe-Schreibweise).
Ich habe deinen Text jetzt schreibtechnisch angepasst und gleichzeitig korrigiert.
--------------------------------
> [mm]z'=\bruch{dz}{dx}[/mm] = 2x => [mm]dx=\bruch{dz}{2x}[/mm]
> bei
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}} dx} [/mm] wird
> der Term [mm] (x^2+1) [/mm] durch z und dx durch [mm]\bruch{dz}{2x}[/mm]
> ersetzt =>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2x}{\wurzel{z}} *
\bruch{dz}{2x}[/mm]
> 2x kann man nun kürzen= [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{dz}{\wurzel{z}}[/mm]
>
Bis hier ist das dann richtig, auf Grund deiner Schreibweise verstehe ich nun deine eigentliche Frage nicht mehr und versuche mal zwei Erklärungen:
> dz = [mm]2*\wurzel{z}[/mm] = 2* [mm]\wurzel{x²+1}[/mm] +c
> Meine Frage ist nun woher das 2* nun kommt? bzw. wieso man
> [mm]1/\wurzel{z}[/mm] mal 2 nimmt.
1. Erklärung: Wenn der Integrand die Ableitung der gesuchten Funktion ist, liegt es nahe, dass diese [mm] \wurzel{z} [/mm] heißt. Wenn man aber die Ableitung von [mm] \wurzel{z} [/mm] betrachtet, so gibt das [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{z}}, [/mm] und die 2 fehlt. Also "korrigieren" wir den Term:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dz}{\wurzel{z}}}=\integral_{a}^{b}{\bruch{2*dz}{2*\wurzel{z}}} [/mm] (erweitert) = [mm] 2*\integral_{a}^{b}{\bruch{dz}{2*\wurzel{z}}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{z}, [/mm] wobei du noch die Grenzen einsetze n müsstest.
2. Erklärung: [mm] \wurzel{z}=z^{\bruch{1}{2}} [/mm] und somit [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}}=(z^{\bruch{1}{2}})^{-1}=z^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Jetzt die Potenzregel für das Integral anwenden:
[mm] \integral_{}^{}{x^n dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n+1}}{n+1}
[/mm]
Das gibt für [mm] n=-\bruch{1}{2} [/mm] Dann ...= [mm] \bruch{x^{-\bruch{1}{2}+1}}{-\bruch{1}{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{\bruch{1}{2}}}{\bruch{1}{2}}=2*\wurzel{z}.
[/mm]
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