Integration gebrochen rational < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 09.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{x^2}{1+x^3} dx} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht richtig weiter. Mit PBZ bin ich momentan bei
[mm] \bruch{2}{3}*\integral{\bruch{x}{x^2-x+1} dx}-\bruch{1}{3}*\integral{\bruch{1}{x^2-x+1} dx}+\bruch{1}{3}*\integral{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
Nur irgendwie bringt mich das jetzt nicht weiter ?
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Hallo,
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{1+x^3} dx}[/mm]
> Hallo,
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> ich komme bei obiger Aufgabe nicht richtig weiter. Mit PBZ
> bin ich momentan bei
>
> [mm]\bruch{2}{3}*\integral{\bruch{x}{x^2-x+1} dx}-\bruch{1}{3}*\integral{\bruch{1}{x^2-x+1} dx}+\bruch{1}{3}*\integral{\bruch{1}{x+1} dx}[/mm]
>
> Nur irgendwie bringt mich das jetzt nicht weiter ?
Das ist auch kein Wunder. PBZ sollte man nur versuchen, wenn sonst nichts hilft: hier bringt dich jedoch die Substitution
[mm] u=1+x^3
[/mm]
schnell ans Ziel.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 11.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Das ist auch kein Wunder. PBZ sollte man nur versuchen,
> wenn sonst nichts hilft: hier bringt dich jedoch die
> Substitution
>
> [mm]u=1+x^3[/mm]
>
> schnell ans Ziel.
>
>
> Gruß, Diophant
>
>
Danke, mit der Substitution ging es wirklich recht schnell.
Nun habe ich allerdings ein ähnliches Problem:
[mm] \integral{\bruch{x}{(x^2+2*x+3)^3} dx}
[/mm]
Partialbruchzerlegung bringt mich hier wieder nicht wirklich weiter. Ebenso habe ich versucht mit [mm] u=x^2+2*x+3 [/mm] zu substituieren. Auch das hat mich auf kein annehmbares Ergebnis gebracht. Gibt es hier einen nützlichen Ansatz den ich momentan nicht sehe ?
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Hallo bammbamm!
Folgende Idee (ich habe es jetzt aber nicht bis zum Ende durchgerechnet).
[mm] $\bruch{x}{\left(x^2+2*x+3\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x \ \red{+1-1}}{\left(x^2+2*x+3\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{2}{2}}*\bruch{x+1}{\left(x^2+2*x+3\right)^3}-\bruch{1}{\left(x^2+2*x+3\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2*x+2}{\left(x^2+2*x+3\right)^3}-\bruch{1}{\left(x^2+2*x+3\right)^3} [/mm] \ = \ ...$
Beim ersten Bruch hast Du nun im Zähler die Ableitung des Nenners. Hier bringt Dich also die Substitution des Nenners weiter.
Beim zweiten Bruch muss ich nochmal nachdenken ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ... und lasse daher die Frage auf "teilweise beantwortet".
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo bammbamm,
ich hänge da genauso fest wie Du und finde die Idee von Roadrunner erst einmal gut. Aber weitergekommen bin ich auch dann nicht.
Dann habe ichs jetzt mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wolram Alpha eingegeben, wo einen die Lösung schon verblüfft und ein Klick auf "Show steps" einen Riesenwust an Arbeit suggeriert.
Das ist alles andere als ein leichtes Integral, wenn man es händisch lösen soll.
Bist Du sicher, dass die Aufgabe keinen Tippfehler enthält?
Grüße
reverend
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