Integration in Polarkoordinate < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Fr 22.01.2010 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Fläche die durch die Kurven
[mm] r=a(1-cos(\phi))
[/mm]
r=a [mm] (a\in\IR; [/mm] a>0)
begrenzt wird und außerhalb des Kreises liegt.
Ergebnis: [mm] A=a^2*(\pi/4+2) [/mm] |
Hallo,
das ist das erste Mal, dass ich mich mit Polarkoordinaten beschäftige und prompt verstehe ich nur Bahnhof 
Zuerst scheiterte ich schon daran mir vorzustellen, wie die Kurven überhaupt aussehen.
Wenn ich das richtig verstanden habe dann wird in Polarkoordinaten jeder Punkt als Radius und Winkel ausgedrückt.
Ist der radius, ich denke mal r, konstant, entsteht ein Kreis [mm] \Rightarrow [/mm] r=a ist ein Kreis mit Radius a.
Und die andere Kurve sieht denke ich aus wie ein Ei mit dem stumpfen Ende bei [mm] 0/2\pi [/mm] und der spitze irgendwo auf der negativen x-Achse.
und jetzt das Integral...
[mm] \integral_{\phi=\phi_1}^{\phi_2}{}\integral_{r=r_i(\phi)}^{r_a(\phi)}{f(r*cos(\phi);r*sin(\phi)) *r dr d\phi }
[/mm]
Erstmal die Grenzen:
[mm] r_i=a
[/mm]
[mm] r_a=a(1-cos(\phi))
[/mm]
und für [mm] \phi [/mm] habe ich von [mm] 0-2\pi [/mm] genommen.
Jetzt habe ich ja keinen Integranden gegeben, nehme ich da erstmal einfach r als integrand?
Ich habe die Aufgabe jedenfalls so schon gerechnet und bin leider immer auf ein falsches Ergebnis gekommen.
Könnte bitte einer mal schauen, ob das so überhaupt der richtige Ansatz ist?
Gruß
|
|
| |
|
Hallo LowBob,
> Ermitteln Sie die Fläche die durch die Kurven
>
> [mm]r=a(1-cos(\phi))[/mm]
>
> r=a [mm](a\in\IR;[/mm] a>0)
>
> begrenzt wird und außerhalb des Kreises liegt.
>
> Ergebnis: [mm]A=a^2*(\pi/4+2)[/mm]
> Hallo,
>
> das ist das erste Mal, dass ich mich mit Polarkoordinaten
> beschäftige und prompt verstehe ich nur Bahnhof
>
> Zuerst scheiterte ich schon daran mir vorzustellen, wie die
> Kurven überhaupt aussehen.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe dann wird in
> Polarkoordinaten jeder Punkt als Radius und Winkel
> ausgedrückt.
>
> Ist der radius, ich denke mal r, konstant, entsteht ein
> Kreis [mm]\Rightarrow[/mm] r=a ist ein Kreis mit Radius a.
>
> Und die andere Kurve sieht denke ich aus wie ein Ei mit dem
> stumpfen Ende bei [mm]0/2\pi[/mm] und der spitze irgendwo auf der
> negativen x-Achse.
> und jetzt das Integral...
>
> [mm]\integral_{\phi=\phi_1}^{\phi_2}{}\integral_{r=r_i(\phi)}^{r_a(\phi)}{f(r*cos(\phi);r*sin(\phi)) *r dr d\phi }[/mm]
>
> Erstmal die Grenzen:
>
> [mm]r_i=a[/mm]
>
> [mm]r_a=a(1-cos(\phi))[/mm]
>
> und für [mm]\phi[/mm] habe ich von [mm]0-2\pi[/mm] genommen.
>
> Jetzt habe ich ja keinen Integranden gegeben, nehme ich da
> erstmal einfach r als integrand?
>
> Ich habe die Aufgabe jedenfalls so schon gerechnet und bin
> leider immer auf ein falsches Ergebnis gekommen.
>
> Könnte bitte einer mal schauen, ob das so überhaupt der
> richtige Ansatz ist?
Die Formel, die Du hier benötigst,
ist die sogenannte Leibnizsche Sektorenformel:
[mm]A=\bruch{1}{2}\integral_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}{r^{2} \ d\varphi}[/mm]
Hierbei ist [mm]r=r\left(\varphi\right)=a*\left( \ 1-\cos\left(\varphi\right) \ )[/mm]
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
