Integration mit 3 variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei a > 0 und K := {(x,y,z) [mm] \in \IR^3; [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0 , z [mm] \ge [/mm] 0, x+y+z [mm] \le [/mm] a} Berechne
[mm] \integral_{K}{(x^3 + y^3 + z^3) dx dy dz} [/mm] |
huhu.,
Man ich hab Integrale nicht mal in eindimensionalen gemocht^^ aber so wie ichs verstanden habe, integriert man einfach eins nach dem andern.
also :
[mm] \integral \integral \integral (x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] + [mm] z^3) [/mm] dx dy dz
=
[mm] \integral \integral [/mm] (1/4 [mm] x^4 +xy^3 [/mm] + [mm] xz^3) [/mm] dy dz
=
[mm] \integral [/mm] (1/4 [mm] yx^4 [/mm] + 1/4 [mm] xy^4 [/mm] + [mm] xyz^3) [/mm] dz
=
1/4 [mm] \* (yzx^4 [/mm] + [mm] xzy^4 [/mm] + [mm] xyz^4)
[/mm]
wobei ich mich jetzt frage wofür ich eine Angabe von einem a habe.
Lg, Eve ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 21.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> sei a > 0 und $K := [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3; x \ge 0, y \ge 0 , z \ge 0, x+y+z \le a\}$ [/mm] Berechne
> [mm]\integral_{K}{(x^3 + y^3 + z^3) dx dy dz}[/mm]
> huhu.,
> Man ich hab Integrale nicht mal in eindimensionalen
> gemocht^^ aber so wie ichs verstanden habe, integriert man
> einfach eins nach dem andern.
> also :
>
> [mm]\integral \integral \integral (x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] + [mm]z^3)[/mm] dx dy dz
>
> =
> [mm]\integral \integral[/mm] (1/4 [mm]x^4 +xy^3[/mm] + [mm]xz^3)[/mm] dy dz
>
> =
> [mm]\integral[/mm] (1/4 [mm]yx^4[/mm] + 1/4 [mm]xy^4[/mm] + [mm]xyz^3)[/mm] dz
>
> =
>
> 1/4 [mm]\* (yzx^4[/mm] + [mm]xzy^4[/mm] + [mm]xyz^4)[/mm]
>
> wobei ich mich jetzt frage wofür ich eine Angabe von einem
> a habe.
Du solltest Dich auch fragen, wieso die anderen Bedingungen für x,y und z gegeben sind bzw. wozu überhaupt die Angabe des Gebiets K dient, das hast Du nämlich völlig ignoriert.
Die Antwort ist: Es ist ein bestimmtes Integral zu berechnen, das Ergebnis ist also ein Skalar und keine Funktion.
Du musst Dir also die Integraionsgrenzen überlegen.
>
>
> Lg, Eve ;)
>
>
Gruß,
notinX
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ein Skalar...?
also als Untergrenze kann ich denke ich einfach sagen 0. Bei allen 3. Die Obergrenze müsste sich "berechnen" lassen durch x+y+z [mm] \le [/mm] a
das wär ja dann z.b. äquivalent zu x [mm] \le [/mm] a-y-z das müsste dann mein Oberntegral sein wenn ich nach x integriere oder? dann hätte ich beim ersten Integrieren doch
[mm] \integral_{0}^{a-x-y} \integral_{0}^{a-x-z} [/mm] (a-y-z) [mm] \* (1/4x^4 +y^3 +z^3) [/mm] dy dz
oder?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> ein Skalar...?
>
> also als Untergrenze kann ich denke ich einfach sagen 0.
> Bei allen 3. Die Obergrenze müsste sich "berechnen" lassen
> durch x+y+z [mm]\le[/mm] a
> das wär ja dann z.b. äquivalent zu x [mm]\le[/mm] a-y-z das
> müsste dann mein Oberntegral sein wenn ich nach x
> integriere oder? dann hätte ich beim ersten Integrieren
> doch
>
>
> [mm]\integral_{0}^{a-x-y} \integral_{0}^{a-x-z}[/mm] (a-y-z) [mm]\* (1/4x^4 +y^3 +z^3)[/mm]
> dy dz
>
>
Diese Integration stimmt nicht.
Und die Obergenzen der Integrale sind ebenfalls noch zu überdenken.
Aus der Bedingung [mm] x+y+z \le a[/mm] folgt doch zunächst [mm] x \le a-y-z[/mm]
Da [mm]x \ge 0[/mm] muss auch [mm] a-y-z \ge 0[/mm] erfüllt sein.
Daraus erhältst Du die Grenzen für y.
Analog geht das dann für die Grenzen von x.
> oder?
Gruss
MathePower
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huhu,
also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib bei 0 als Unterintegral.
als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann a-z
für x analog a-z
und für z krieg ich dann doch entweder a-y oder a-x oder?
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> huhu,
>
> also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib
> bei 0 als Unterintegral.
> als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann a-z
> für x analog a-z
> und für z krieg ich dann doch entweder a-y oder a-x
> oder?
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
Du willst ja erst nach x, dann nach y, dann nach z integrieren, also
[mm] \integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...} [/mm] f(x,y,z) dx dy dz
berechnen.
Die Grenzen des inneren Integrals dürfen kein x enthalten, die des nächsten Integrals weder x noch y, und die des äußeren Integrals sind ganz frei von Variablen. (Das a ist keine Variable, sondern ein Parameter, also wie eine Zahl zu behandeln.)
So, nun laß uns über die x-Grenzen , also über die Grenzen des inneren Integrals, nachdenken:
lt. Aufgabenstellung ist [mm] 0\le x\le [/mm] a-y-z, womit Du die Grenzen schon hast.
Jetzt kommen die y-Grenzen:
zunächst mal weißt Du, daß [mm] 0\le [/mm] y.
Weiter haben wir [mm] y\le [/mm] a-x-z. Wie groß kann denn der Ausdruck a-x-z höchstens werden? Beachte dazu, in welchem Bereich sich das x bewegen darf.
Jetzt mach die entsprechende Überlegung noch für die z-Grenzen.
LG Angela
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> > huhu,
> >
> > also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib
> > bei 0 als Unterintegral.
> > als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann
> a-z
> > für x analog a-z
> > und für z krieg ich dann doch entweder a-y oder a-x
> > oder?
>
> Hallo,
hoi ;)
> nein, das ist nicht richtig.
>
> Du willst ja erst nach x, dann nach y, dann nach z
> integrieren, also
>
> [mm]\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}[/mm]
> f(x,y,z) dx dy dz
>
> berechnen.
>
> Die Grenzen des inneren Integrals dürfen kein x enthalten,
> die des nächsten Integrals weder x noch y, und die des
> äußeren Integrals sind ganz frei von Variablen. (Das a
> ist keine Variable, sondern ein Parameter, also wie eine
> Zahl zu behandeln.)
>
> So, nun laß uns über die x-Grenzen , also über die
> Grenzen des inneren Integrals, nachdenken:
> lt. Aufgabenstellung ist [mm]0\le x\le[/mm] a-y-z, womit Du die
> Grenzen schon hast.
>
> Jetzt kommen die y-Grenzen:
> zunächst mal weißt Du, daß [mm]0\le[/mm] y.
> Weiter haben wir [mm]y\le[/mm] a-x-z. Wie groß kann denn der
> Ausdruck a-x-y höchstens werden? Beachte dazu, in welchem
> Bereich sich das x bewegen darf.
ich weiß nicht, wozu ich den Bereich von x beachten soll. Wie groß der Ausdruck a-x-y werden kann? Nun, da nach Vor. a >0, x,y [mm] \ge [/mm] 0 sind, kann der Ausdruck maximal a sein. dann gelte 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] a-x-z [mm] \le [/mm] a
(Andererseits gibt bei mir die Überlegung, wenn ich den x Bereich betrachte , dass y [mm] \le [/mm] a-a+y+z-z , also y [mm] \le [/mm] y gilt^^ ;P )
aber dann hätte mein zweites Integral ja schon kein z mehr drin, aber das soll ja noch da drin sein oder?
> Jetzt mach die entsprechende Überlegung noch für die
> z-Grenzen.
dann wäre beim dritten die Oberintervallgrenze wiederrum a.
> LG Angela
>
>
>
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Hallo EvelynSnowley2311,
> >
> > > huhu,
> > >
> > > also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib
> > > bei 0 als Unterintegral.
> > > als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann
> > a-z
> > > für x analog a-z
> > > und für z krieg ich dann doch entweder a-y oder
> a-x
> > > oder?
> >
> > Hallo,
> hoi ;)
> > nein, das ist nicht richtig.
> >
> > Du willst ja erst nach x, dann nach y, dann nach z
> > integrieren, also
> >
> >
> [mm]\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}[/mm]
> > f(x,y,z) dx dy dz
> >
> > berechnen.
> >
> > Die Grenzen des inneren Integrals dürfen kein x enthalten,
> > die des nächsten Integrals weder x noch y, und die des
> > äußeren Integrals sind ganz frei von Variablen. (Das a
> > ist keine Variable, sondern ein Parameter, also wie eine
> > Zahl zu behandeln.)
> >
> > So, nun laß uns über die x-Grenzen , also über die
> > Grenzen des inneren Integrals, nachdenken:
> > lt. Aufgabenstellung ist [mm]0\le x\le[/mm] a-y-z, womit Du die
> > Grenzen schon hast.
> >
> > Jetzt kommen die y-Grenzen:
> > zunächst mal weißt Du, daß [mm]0\le[/mm] y.
> > Weiter haben wir [mm]y\le[/mm] a-x-z. Wie groß kann denn der
> > Ausdruck a-x-y höchstens werden? Beachte dazu, in welchem
> > Bereich sich das x bewegen darf.
> ich weiß nicht, wozu ich den Bereich von x beachten soll.
> Wie groß der Ausdruck a-x-y werden kann? Nun, da nach Vor.
> a >0, x,y [mm]\ge[/mm] 0 sind, kann der Ausdruck maximal a sein.
> dann gelte 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] a-x-z [mm]\le[/mm] a
>
y darf nicht mehr von x abhängig sein.
>
> (Andererseits gibt bei mir die Überlegung, wenn ich den x
> Bereich betrachte , dass y [mm]\le[/mm] a-a+y+z-z , also y [mm]\le[/mm] y
> gilt^^ ;P )
>
> aber dann hätte mein zweites Integral ja schon kein z mehr
> drin, aber das soll ja noch da drin sein oder?
>
Richtig, das darf hier nicht sein.
> > Jetzt mach die entsprechende Überlegung noch für die
> > z-Grenzen.
>
> dann wäre beim dritten die Oberintervallgrenze wiederrum
> a.
Das ist richtig.
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
>
Gruss
MathePower
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> Hallo EvelynSnowley2311,
>
> > >
> > > > huhu,
> > > >
> > > > also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib
> > > > bei 0 als Unterintegral.
> > > > als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann
>
> > > a-z
> > > > für x analog a-z
> > > > und für z krieg ich dann doch entweder a-y oder
> > a-x
> > > > oder?
> > >
> > > Hallo,
> > hoi ;)
> > > nein, das ist nicht richtig.
> > >
> > > Du willst ja erst nach x, dann nach y, dann nach z
> > > integrieren, also
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}[/mm]
> > > f(x,y,z) dx dy dz
> > >
> > > berechnen.
> > >
> > > Die Grenzen des inneren Integrals dürfen kein x enthalten,
> > > die des nächsten Integrals weder x noch y, und die des
> > > äußeren Integrals sind ganz frei von Variablen. (Das a
> > > ist keine Variable, sondern ein Parameter, also wie eine
> > > Zahl zu behandeln.)
> > >
> > > So, nun laß uns über die x-Grenzen , also über die
> > > Grenzen des inneren Integrals, nachdenken:
> > > lt. Aufgabenstellung ist [mm]0\le x\le[/mm] a-y-z, womit Du
> die
> > > Grenzen schon hast.
> > >
> > > Jetzt kommen die y-Grenzen:
> > > zunächst mal weißt Du, daß [mm]0\le[/mm] y.
> > > Weiter haben wir [mm]y\le[/mm] a-x-z. Wie groß kann denn der
> > > Ausdruck a-x-y höchstens werden? Beachte dazu, in welchem
> > > Bereich sich das x bewegen darf.
> > ich weiß nicht, wozu ich den Bereich von x beachten soll.
> > Wie groß der Ausdruck a-x-y werden kann? Nun, da nach Vor.
> > a >0, x,y [mm]\ge[/mm] 0 sind, kann der Ausdruck maximal a sein.
> > dann gelte 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] a-x-z [mm]\le[/mm] a
> >
>
>
> y darf nicht mehr von x abhängig sein.
>
>
> >
> > (Andererseits gibt bei mir die Überlegung, wenn ich den x
> > Bereich betrachte , dass y [mm]\le[/mm] a-a+y+z-z , also y [mm]\le[/mm] y
> > gilt^^ ;P )
> >
> > aber dann hätte mein zweites Integral ja schon kein z mehr
> > drin, aber das soll ja noch da drin sein oder?
> >
>
>
> Richtig, das darf hier nicht sein.
>
Ich meine die Oberintervallgrenze vom zweiten Integral muss dann a-z sein! Nur wie komm ich darauf? ich habe nochmals zur Übersicht
y [mm] \le [/mm] a-x-z
0 [mm] \le [/mm] y
x [mm] \le [/mm] a-y-z
K, y darf nicht mehr von x abhängig sein, ich schmeiß es also raus weil x [mm] \ge [/mm] 0 ist und daher schmeiß ichs raus für ein maximales Integral. Soweit versteh ichs. ABer mal rein theoretisch könnte ich das z doch hier schon einfach mit rausnehmen? Das verwirrt mich...
> > > Jetzt mach die entsprechende Überlegung noch für die
> > > z-Grenzen.
> >
> > dann wäre beim dritten die Oberintervallgrenze wiederrum
> > a.
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>
> Das ist richtig.
>
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> > > LG Angela
> > >
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> > >
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> Gruss
> MathePower
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Hallo EvelynSnowley2311,
> > Hallo EvelynSnowley2311,
> >
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> > > > > huhu,
> > > > >
> > > > > also nochmal der versuch der Integralbereiche: Ich bleib
> > > > > bei 0 als Unterintegral.
> > > > > als Oberintegralgrenze von y hätte ich dann
>
> >
> > > > a-z
> > > > > für x analog a-z
> > > > > und für z krieg ich dann doch entweder a-y
> oder
> > > a-x
> > > > > oder?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > hoi ;)
> > > > nein, das ist nicht richtig.
> > > >
> > > > Du willst ja erst nach x, dann nach y, dann nach z
> > > > integrieren, also
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}\integral_{...}^{...}[/mm]
> > > > f(x,y,z) dx dy dz
> > > >
> > > > berechnen.
> > > >
> > > > Die Grenzen des inneren Integrals dürfen kein x enthalten,
> > > > die des nächsten Integrals weder x noch y, und die des
> > > > äußeren Integrals sind ganz frei von Variablen. (Das a
> > > > ist keine Variable, sondern ein Parameter, also wie eine
> > > > Zahl zu behandeln.)
> > > >
> > > > So, nun laß uns über die x-Grenzen , also über die
> > > > Grenzen des inneren Integrals, nachdenken:
> > > > lt. Aufgabenstellung ist [mm]0\le x\le[/mm] a-y-z, womit
> Du
> > die
> > > > Grenzen schon hast.
> > > >
> > > > Jetzt kommen die y-Grenzen:
> > > > zunächst mal weißt Du, daß [mm]0\le[/mm] y.
> > > > Weiter haben wir [mm]y\le[/mm] a-x-z. Wie groß kann denn
> der
> > > > Ausdruck a-x-y höchstens werden? Beachte dazu, in welchem
> > > > Bereich sich das x bewegen darf.
> > > ich weiß nicht, wozu ich den Bereich von x beachten soll.
> > > Wie groß der Ausdruck a-x-y werden kann? Nun, da nach Vor.
> > > a >0, x,y [mm]\ge[/mm] 0 sind, kann der Ausdruck maximal a sein.
> > > dann gelte 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] a-x-z [mm]\le[/mm] a
> > >
> >
> >
> > y darf nicht mehr von x abhängig sein.
> >
> >
> > >
> > > (Andererseits gibt bei mir die Überlegung, wenn ich den x
> > > Bereich betrachte , dass y [mm]\le[/mm] a-a+y+z-z , also y [mm]\le[/mm] y
> > > gilt^^ ;P )
> > >
> > > aber dann hätte mein zweites Integral ja schon kein z mehr
> > > drin, aber das soll ja noch da drin sein oder?
> > >
> >
> >
> > Richtig, das darf hier nicht sein.
> >
> Ich meine die Oberintervallgrenze vom zweiten Integral muss
> dann a-z sein! Nur wie komm ich darauf? ich habe nochmals
> zur Übersicht
>
> y [mm]\le[/mm] a-x-z
> 0 [mm]\le[/mm] y
> x [mm]\le[/mm] a-y-z
>
Ich habe doch geschrieben:
"Da [mm]x \ge 0[/mm] ist,muß auch [mm]a-y-z\ge0[/mm] sein"
Aus der Ungleichung [mm]a-y-z\ge0[/mm] ergibt sich[mm]y \le a-z[/mm]
Damit ist die Obergrenze des mittleren Integrals a-z.
> K, y darf nicht mehr von x abhängig sein, ich schmeiß es
> also raus weil x [mm]\ge[/mm] 0 ist und daher schmeiß ichs raus
> für ein maximales Integral. Soweit versteh ichs. ABer mal
> rein theoretisch könnte ich das z doch hier schon einfach
> mit rausnehmen? Das verwirrt mich...
Um die Obergrenze für y zu ermitteln,
wird ermittelt wann die Grenzen für z gleich sind.
> > > > Jetzt mach die entsprechende Überlegung noch für
> die
> > > > z-Grenzen.
> > >
> > > dann wäre beim dritten die Oberintervallgrenze wiederrum
> > > a.
> >
> >
> > Das ist richtig.
> >
> >
> > > > LG Angela
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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was tippst du was als Ergebnis rauskommt? esist ja irre lang ich hab da bestimmt ne rechenfehler drin..
Habe insgesamt - 1/3 [mm] \* [/mm] a raus. Kann ja nich sein als negative Zahl...
Aber da kommt bestimmt sowas wie 0 oder a raus oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Fr 22.06.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo EvelynSnowley2311,
> was tippst du was als Ergebnis rauskommt? esist ja irre
> lang ich hab da bestimmt ne rechenfehler drin..
>
Dann poste dies als Frage.
> Habe insgesamt - 1/3 [mm]\*[/mm] a raus. Kann ja nich sein als
> negative Zahl...
> Aber da kommt bestimmt sowas wie 0 oder a raus oder?
Nein.
Gruss
MathePower
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k dann nochmal als Frage:
ich habe insgesamt stolze 34 terme, alle mit [mm] \* a^6.
[/mm]
Als Ergebnis krieg ich nun nach zwei Korrekturen als Ergebnis [mm] \bruch{-37}{120} a^6 [/mm] was totale Bockwurst ist.
Hab ich vlt die falsche Variable zuerst integriert?
[mm] \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{a-z} \integral_{0}^{a-z-y} (x^3+y^3+z^3) [/mm] dx dy dz
oder erst dz dy dx?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> k dann nochmal als Frage:
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> ich habe insgesamt stolze 34 terme, alle mit [mm]\* a^6.[/mm]
> Als
> Ergebnis krieg ich nun nach zwei Korrekturen als Ergebnis
> [mm]\bruch{-37}{120} a^6[/mm] was totale Bockwurst ist.
>
> Hab ich vlt die falsche Variable zuerst integriert?
>
> [mm]\integral_{0}^{a} \integral_{0}^{a-z} \integral_{0}^{a-z-y} (x^3+y^3+z^3)[/mm]
> dx dy dz
>
> oder erst dz dy dx?
>
Obiges ist schon richtig.
Nur kommt nicht das heraus. was Du angegeben hast.
Gruss
MathePower
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sry wenn ich so unverschämt frage aber kennst du das Ergebnis?
Edit: Mein neustes ergebnis ist genau 1 wohoo kann das sein?
also 1 [mm] \* a^6[/mm]
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> sry wenn ich so unverschämt frage aber kennst du das
> Ergebnis?
Hallo,
ich jedenfalls kenne es nicht und bin auch gar nicht geneigt, einen Stift in die Hand zu nehmen.
Ich könnte mir aber vorstellen, etwaige von Dir gepostete Rechnungen anzuschauen.
Nochmal zur Sicherheit: integrieren mußt Du so, wie ich jetzt klammere, von innen nach außen:
$ [mm] (\integral_{0}^{a} (\integral_{0}^{a-z} (\integral_{0}^{a-z-y} (x^3+y^3+z^3) [/mm] $ dx) dy )dz )
>
> Edit: Mein neustes ergebnis ist genau 1 wohoo kann das
> sein?
> also 1 [mm]\* a^6[/mm]
Ich hab's mal rechnen lassen. Wenn ich nichts falsch gemacht habe, kommt
[mm] \bruch{a^6}{40} [/mm] raus.
LG Angela
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1/40 als Koeffizient? grrr meine 1 sah so richtig gut aus... Aber trotzdem danke ich dir angela ;) ist echt ne Fleißaufgabe..
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