Integration mit Substitution < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 16.04.2011 | | Autor: | nstyle |
| Aufgabe | Ermitteln Sie mit Hilfe geeigneter Substitution:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dt}{t^2*\wurzel[2]{1-t^2}}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo mathecommunity,
ich soll die Stammfunktion von dieser Aufgabe bilden. Ich bin auch schon ziemlich weit gekommen aber am Ende komme ich beim zusammenfassen einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
Ich zeige euch mal meine Schritte:
Zuerst habe ich t mit sin(x) substituiert:
t = sin(x) | [mm] \bruch{d}{dx}
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = cos(x) [mm] \Rightarrow [/mm] dt = cos(x) * dx
somit habe ich folgenden Bruch:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{cos(x)*dx}{sin^2(x)*\wurzel{1-sin^2}}}
[/mm]
Dann mit dem trigonometrischen Pythagoras für [mm] 1-sin^2 [/mm] = [mm] cos^2 [/mm] eingesetzt.
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{cos(x)*dx}{sin^2(x)*\wurzel{cos(x)^2}}}
[/mm]
Danach habe ich gekürzt.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{sin(x)^2}}
[/mm]
Als nächsten Schritt (ich hoffe das ich den richtig gemacht habe) habe ich desubstituiert:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{arcsin(t)}{sin^2(t)}}
[/mm]
Jetzt habe ich integriert.
Für [mm] \bruch{1}{sin^2(t)} \Rightarrow [/mm] -cot(t) und für arcsin(t) [mm] \Rightarrow \wurzel{1-t^2} [/mm] + [mm] \bruch{t}{sin(t)} [/mm] somit bekomme ich folgende Brüche:
-cot(t) * [mm] (\wurzel{1-t^2} [/mm] + [mm] \bruch{t}{sin(t)})
[/mm]
Dann aus multipliziert und für cot(t) = [mm] \bruch{cos(t)}{sin(t)} [/mm] eingesetzt:
[mm] -\bruch{cos(t)*\wurzel{1-t^2}}{sin(t)}-\bruch{cos(t)*t}{sin^2(t)}
[/mm]
Ich hoffe, dass es so weit richtig, aber nun weiß ich nicht weiter. Ich habe versucht irgendein Additionstheorem anzuwenden, aber habe nichts gefunden was passen würde.
Das richtige Ergebnis lautet:
[mm] \bruch{-\wurzel{1-t^2}}{t}
[/mm]
Das ist mein erster Eintrag in diesem Forum, ich hoffe das alles gut verständlich ist.
Ich bedanke mich schon mal für die Hilfe.
Gruß nstyle
|
|
| |
|
Hallo [Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{sin^2(x)}} [/mm] ist korrekt,
=-cot(x)+C
[mm] =-\bruch{cos(x)}{sin(x)}+C
[/mm]
im Zähler: Anwendung trigonometrischer Pythagoras [mm] \wurzel{1-t^{2}}
[/mm]
im Nenner: t einsetzen
[mm] =-\bruch{\wurzel{1-t^{2}}}{t}+C
[/mm]
führt schneller zum Ziel, dein Ergebnis ist korrekt, vergesse aber nicht die Integrationskonstante
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
