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| Aufgabe | Es soll durch Integration gezeigt werden, dass für alle n,m [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(nx)*sin(mx) dx}=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe noch so eine Aufgabe, bei der ich hänge:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(nx)*sin(mx) dx}=0
[/mm]
Ich muss die partielle Integration anwenden.
Muss ich hier substituieren?
Und dann noch eine Frage, vielleicht steh ich auch auf dem Schlauch: Wenn ich z.B. cos(nx) integriere ergibt das [mm] \bruch{sin(x)}{n}. [/mm] Wie ergibt sich das n im Nenner, nach welcher Regel? Oder entsteht das, durch die Substitution?
Gruß, Andreas
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Hallo, du benötigst die Stammfunktion, benutze zunächst ein Additionstheorem:
[mm] cos(nx)*sin(mx)=\bruch{1}{2}*[sin(mx-nx)+sin(mx+nx)]=\bruch{1}{2}{sin[(m-n)x]+\bruch{1}{2}sin[(m+n)x]}
[/mm]
jetzt lösen
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{1}{2}{sin[(m-n)x]dx}}+\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{1}{2}{sin[(m+n)x]dx}}
[/mm]
jetzt denke an deine letzte Aufgabe
Steffi
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Hallo,
welches Additionstheorem ist das genau? Hast du das umgestellt?
Ich habe nun beide Integrale getrennt voneinander entwickelt:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin[(m-n)x]dx}
[/mm]
Substitution:
u=(m-n)x; [mm] dx=\bruch{du}{(m-n)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin(u)\bruch{du}{(m-n)}}
[/mm]
untere Grenze: x=0; u=(m-n)*0=0
obere Grenze: [mm] x=2\pi; u=(m-n)2\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{(m-n)2\pi}{sin(u)\bruch{du}{(m-n)}}=[\bruch{cos(u)}{(m-n)}]_{0}^{(m-n)2\pi}=\bruch{cos((m-n)2\pi)-1}{(m-n)}
[/mm]
Für das andere Integral
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin[(m+n)x]dx}
[/mm]
lautet mein "Ergebnis" analog zum ersten
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{(m+n)2\pi}{sin(v)\bruch{dv}{(m+n)}}=[\bruch{cos(v)}{(m+n)}]_{0}^{(m+n)2\pi}=\bruch{cos((m+n)2\pi)-1}{(m+n)}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
> welches Additionstheorem ist das genau? Hast du das
> umgestellt?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, direkt das erste.
> Ich habe nun beide Integrale getrennt voneinander
> entwickelt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin[(m-n)x]dx}[/mm]
>
> Substitution:
>
> u=(m-n)x; [mm]dx=\bruch{du}{(m-n)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin(u)\bruch{du}{(m-n)}}[/mm]
Hm. Das mag auf einem Schmierzettel gehen, aber die Grenzen, die Du hiernach erst berechnest, müssen da auch schon mit substituiert sein. Es ist besser, Du sparst Dir solche Zwischennotizen, jedenfalls in Lösungen zu Übungs- oder gar Klausuraufgaben. Es führt nur zu Irritation und Punktabzug.
> untere Grenze: x=0; u=(m-n)*0=0
>
> obere Grenze: [mm]x=2\pi; u=(m-n)2\pi[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{(m-n)2\pi}{sin(u)\bruch{du}{(m-n)}}=[\bruch{cos(u)}{(m-n)}]_{0}^{(m-n)2\pi}=\bruch{cos((m-n)2\pi)-1}{(m-n)}[/mm]
Vorzeichenfehler: [mm] \integral{\sin{(t)}\;dt}=\blue{-}\cos{(t)}+C
[/mm]
Das ändert hier allerdings nichts am Ergebnis 0.
> Für das andere Integral
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{sin[(m+n)x]dx}[/mm]
>
> lautet mein "Ergebnis" analog zum ersten
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{(m+n)2\pi}{sin(v)\bruch{dv}{(m+n)}}=[\bruch{cos(v)}{(m+n)}]_{0}^{(m+n)2\pi}=\bruch{cos((m+n)2\pi)-1}{(m+n)}[/mm]
Gleicher Vorzeichenfehler...
> Ist das bis hierhin richtig?
Im Prinzip ja, bis auf die angemerkten Korrekturen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 Do 04.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke!
Die Definitionssache war nun kein großes Problem mehr, dort habe ich:
Es gilt: [mm] -cos((m-n)2\pi)+1=0; (\forall [/mm] m,n [mm] \in \IN_{0})
[/mm]
Bedingung: [mm] (m-n)\not=0
[/mm]
Analog zum zweiten Term:
[mm] -cos((m+n)2\pi)+1=0; (\forall [/mm] m,n [mm] \in \IN_{0})
[/mm]
Bedingung: [mm] (m+n)\not=0
[/mm]
Dann eben die beiden Terme zusammen nochmal zusammen nebeneinander aufgeschrieben mit dem nun bewiesenen Endergebnis 0.
Ich bin mal so mutig das als Mitteilung zu schreiben, für all diejenigen, die an der Lösung interessiert sind.
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 04.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Andreas,
schön, dass Du die Aufgabe jetzt geschafft hast.
> Die Definitionssache war nun kein großes Problem mehr,
> dort habe ich:
>
> Es gilt: [mm]-cos((m-n)2\pi)+1=0; (\forall[/mm] m,n [mm]\in \IN_{0})[/mm]
>
> Bedingung: [mm](m-n)\not=0[/mm]
Die Bedingung ist nicht nötig. Für m=n folgt [mm] -\cos{(0)}+1=0.
[/mm]
> Analog zum zweiten Term:
>
> [mm]-cos((m+n)2\pi)+1=0; (\forall[/mm] m,n [mm]\in \IN_{0})[/mm]
>
> Bedingung: [mm](m+n)\not=0[/mm]
Ganz analog: auch hier ist die Bedingung nicht nötig.
> Dann eben die beiden Terme zusammen nochmal zusammen
> nebeneinander aufgeschrieben mit dem nun bewiesenen
> Endergebnis 0.
>
>
> Ich bin mal so mutig das als Mitteilung zu schreiben, für
> all diejenigen, die an der Lösung interessiert sind.
Wir lesen hier auch Mitteilungen. 
Herzliche Grüße
reverend
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