Integration über Flächen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 09.09.2010 | | Autor: | Kleister |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Hallo zusammen,
ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe
Es sei M die durch die Flächen
[mm] S_{1} [/mm] = { [mm] (x,y,z)\in \IR^{3} [/mm] : [mm] y=x^{2}+2z^{2} [/mm] }
[mm] S_{2} [/mm] = { [mm] (x,y,z)\in \IR^{3} [/mm] : x+2y+z=1 }
berandete Teilmenge des [mm] \IR^{3}. [/mm] Berechnen Sie |M|.
Leider fehlt mir zu der Aufgabe jeglicher Ansatz.
Eine Idee von mir wäre es die Menge [mm] S_{1} [/mm] als Funktion f(x,y,z) auszudrücken (also f(x,y,z)= [mm] x^{2}-y+2z^{2})
[/mm]
und dann das Integral
[mm] \integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{y_{1}}^{y_{2}}\integral_{z_{1}}^{z_{2}}{x^{2}-y+2z^{2} dxdydz}
[/mm]
zu berechnen. Die Integrationsgrenzen würde ich dann anhand der [mm] S_{2} [/mm] bestimmen. Jedoch fehlt mir auch hier eine konkrete Idee.
Eventuell sehen die Grenzen wie folgt aus
0<z<1
0<y<1-z
0<x<1-2y-z
Diese Grenzen sind jedoch rein intuitiv und daher vermutlich falsch.
Über Hinweise und Tipps von euch wäre ich sehr dankbar :)
Liebe Grüße,
Kleister
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Hallo Kleister,
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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> Hallo zusammen,
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> ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe
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> Es sei M die durch die Flächen
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> [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](x,y,z)\in \IR^{3}[/mm] : [mm]y=x^{2}+2z^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]S_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](x,y,z)\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: x+2y+z=1 }
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> berandete Teilmenge des [mm]\IR^{3}.[/mm] Berechnen Sie |M|.
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> Leider fehlt mir zu der Aufgabe jeglicher Ansatz.
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> Eine Idee von mir wäre es die Menge [mm]S_{1}[/mm] als Funktion
> f(x,y,z) auszudrücken (also f(x,y,z)= [mm]x^{2}-y+2z^{2})[/mm]
>
> und dann das Integral
>
> [mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{y_{1}}^{y_{2}}\integral_{z_{1}}^{z_{2}}{x^{2}-y+2z^{2} dxdydz}[/mm]
>
> zu berechnen. Die Integrationsgrenzen würde ich dann
> anhand der [mm]S_{2}[/mm] bestimmen. Jedoch fehlt mir auch hier eine
> konkrete Idee.
> Eventuell sehen die Grenzen wie folgt aus
>
> 0<z<1
> 0<y<1-z
> 0<x<1-2y-z
>
> Diese Grenzen sind jedoch rein intuitiv und daher
> vermutlich falsch.
>
> Über Hinweise und Tipps von euch wäre ich sehr dankbar
> :)
Schneide zunächst [mm]S_{1}[/mm] mit [mm]S_{2}[/mm].
Dann erhälst Du eine quadratische Gleichung in x und z.
Jetzt kannst Du [mm]x=x\left(r,\phi\right)[/mm] und [mm]z=z\left(r,\phi\right)[/mm] parametrisieren.
Dies setzt Du in [mm]S_{1}[/mm] ein und erhältst [mm]y=y\left(r,\phi\right)[/mm]
Um das durch die Parametertransformation hervorgehende Volumenintegral
zu berechnen, benötigst Du die Determinante von
[mm]\pmat{\bruch{\partial x\left(r,\phi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial x\left(r,\phi\right)}{\partial \phi} \\ \bruch{\partial z\left(r,\phi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial z\left(r,\phi\right)}{\partial \phi}}[/mm]
Dann ergibt sich das Volumenintegral zu
[mm]\integral_{r=0}^{r_{1}}{ \integral_{\phi=0}^{2 \pi} { \integral_{0}^{y\left(r,\phi\right)} det \ dy}\ d\phi}\ dr}[/mm]
,wobei det die Determinante der vorigen Matrix ist und
[mm]r_{1}[/mm] der maximale Radius der aus Einsetzen der
Parametertransformation in [mm]S_{2}[/mm] hervorgeht.
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> Liebe Grüße,
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> Kleister
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Gruss
MathePower
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