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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \integral{\bruch{1}{(x²+4)} dx}
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \integral{\bruch{1}{cos²(x)} dx} [/mm] = tan (x)
[mm] \integral{\bruch{1}{sin²(x)} dx} [/mm] = -cot (x) |
also ich weiß, dass
[mm] \integral{\bruch{1}{(x²+1)} dx} [/mm] = arc tan(x) ist. leider hilft mir das nicht weiter, wenn ich 4 ausklammer komm ich auch auf nichts sinnvolles. Ich weiß die aufgaben sind nicht wirklich schwer, aber hab keine idee.
habs schon mit partieller int. probiert sowie substitution, leider erfolglos!
auch bei den 2 anderen aufgaben komm ich nicht weiter, kann jemand helfen?
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Hallo Leipziger,
> Berechnen Sie:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{(x²+4)} dx}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{cos²(x)} dx}[/mm] = tan (x)
> [mm]\integral{\bruch{1}{sin²(x)} dx}[/mm] = -cot (x)
>
>
> also ich weiß, dass
> [mm]\integral{\bruch{1}{(x²+1)} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= arc tan(x) ist. leider
> hilft mir das nicht weiter, wenn ich 4 ausklammer komm ich
> auch auf nichts sinnvolles. Ich weiß die aufgaben sind
> nicht wirklich schwer, aber hab keine idee.
> habs schon mit partieller int. probiert sowie substitution,
> leider erfolglos!
Substitution scheint mir ein guter Weg zu sein, machen wir das in 2 Schritten.
Mit der ersten Substitution versuchen wir, das Integral in die Form $\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}$ zu bringen.
Schauen wir uns das Integral genauer an: $\int{\frac{1}{x^2+4} \ dx}=\int{\frac{1}{4\cdot{}\left[\left(\frac{x}{2}\right)^2+1\right]} \ dx}=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1} \ dx}$
Nun setzen wir $u:=\frac{x}{2}$, dann ist $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}$, also $dx=2 \ du$
Damit bekommen wir $\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du$
Schon angenehmer...
Nun leiten wir das Ergebnis $\arctan$ her:
Substituieren wir $u:=\tan(\xi)$, dann ist $\frac{du}{d\xi}=\tan^2(\xi)+1$, also $du=(\tan^2(\xi)+1) \ d\xi$
Also haben wir $\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\tan^2(\xi)+1} \ (\tan^2(\xi)+1) \ d\xi}=\frac{1}{2}\int{1 \ d\xi}=\frac{1}{2}\xi$
Das nun resubstituieren....
> auch bei den 2 anderen aufgaben komm ich nicht weiter, kann
> jemand helfen?
Da sit die Frage, ob du das herleiten sollst oder die angegebene Gleichheit zeigen sollst.
Letzteres kannst du durch Differenzieren erledigen...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Leipziger |
"Nun leiten wir das Ergebnis $ [mm] \arctan [/mm] $ her:
Substituieren wir $ [mm] u:=\tan(\xi) [/mm] $, dann ist $ [mm] \frac{du}{d\xi}=\tan^2(\xi)+1 [/mm] $, also $ [mm] du=(\tan^2(\xi)+1) [/mm] \ [mm] d\xi [/mm] $
Also haben wir $ [mm] \frac{1}{2}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\tan^2(\xi)+1} \ (\tan^2(\xi)+1) \ d\xi}=\frac{1}{2}\int{1 \ d\xi}=\frac{1}{2}\xi [/mm] $
Das nun resubstituieren...."
Also mir ist hierbei nicht klar gewurden, wie ich resubstituieren soll, da u:= [mm] tan(\varepsilon) [/mm] hab, und am ende ja [mm] \varepsilon/2 [/mm] das ergebnis ist. aber ist auch nicht relevant, da ich $ [mm] \integral{\bruch{1}{(x²+1)} dx} [/mm] $ = arc tan(x) gegeben habe!
Danke dafür!
Bei den anderen aufgaben muss ich nur die gleichheit zeigen, aber ich glaube um das zu schaffen, muss ich ja trotzdem die integralrechnung machen oder?
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Hallo Leipziger,
> "Nun leiten wir das Ergebnis [mm]\arctan[/mm] her:
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> Substituieren wir [mm]u:=\tan(\xi) [/mm], dann ist
> [mm]\frac{du}{d\xi}=\tan^2(\xi)+1 [/mm], also [mm]du=(\tan^2(\xi)+1) \ d\xi[/mm]
>
> Also haben wir [mm]\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\tan^2(\xi)+1} \ (\tan^2(\xi)+1) \ d\xi}=\frac{1}{2}\int{1 \ d\xi}=\frac{1}{2}\xi[/mm]
>
> Das nun resubstituieren...."
>
> Also mir ist hierbei nicht klar gewurden, wie ich
> resubstituieren soll, da u:= [mm]tan(\varepsilon)[/mm] hab, und am
> ende ja [mm]\varepsilon/2[/mm] das ergebnis ist. aber ist auch nicht
> relevant, da ich [mm]\integral{\bruch{1}{(x²+1)} dx}[/mm] = arc tan(x) gegeben habe!
Jo, dann kannst du nach der ersten Substitution aufhören 
Ich dachte, du wolltest auch noch herleiten, dass [mm] $\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}=\arctan(u)$ [/mm] ist
Kurz zur Resubstitution von oben:
Die machen wir schrittweise zurück:
Zuerst wieder [mm] $\xi$ [/mm] in $u$ ausdrücken. Mit [mm] $u:=\tan(\xi)$ [/mm] ist ja [mm] $\xi=\tan^{invers}(u)=\arctan(u)$
[/mm]
Also wird aus [mm] $\frac{1}{2}\xi$ [/mm] dann [mm] $\frac{1}{2}\arctan(u)$
[/mm]
Die andere Substitution war [mm] $u:=\frac{x}{2}$
[/mm]
Das gibt schließlich [mm] $\frac{1}{2}\arctan(u)=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)=\int{\frac{1}{x^2+4} \ dx}$
[/mm]
> Danke dafür!
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> Bei den anderen aufgaben muss ich nur die gleichheit
> zeigen, aber ich glaube um das zu schaffen, muss ich ja
> trotzdem die integralrechnung machen oder?
Ich würde die rechte Seite (also die "vermeintliche" Stammfunktion) differenzieren, wenn du dann wieder den Integranden rausbekommst, muss es ja richtig sein...
LG
schachuzipus
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