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Forum "Integrationstheorie" - Integration von zwei Variablen
Integration von zwei Variablen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration von zwei Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Di 29.07.2008
Autor: sara_99

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo,
was ich bei der Aufgabe nicht verstehe, ist der Übergang von der ersten in die zweite Zeile. Wo ist plötzlich das [mm] 1/\wurzel{4-y^2} [/mm] hin? Und warum schreibt man nicht das y einfach alleine hin, ohne es so aufzuteilen?
Vielen Dank im Voraus!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Integration von zwei Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 29.07.2008
Autor: MathePower

Hallo sara_99,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Hallo,
>  was ich bei der Aufgabe nicht verstehe, ist der Übergang
> von der ersten in die zweite Zeile. Wo ist plötzlich das
> [mm]1/\wurzel{4-y^2}[/mm] hin? Und warum schreibt man nicht das y
> einfach alleine hin, ohne es so aufzuteilen?

Beim Übergang von der ersten zweiten Zeile hat man einfach nach x integriert und dann die Grenzen eingesetzt.

[mm]\integral_{-\wurzel{4-y^{2}}}^{+\wurzel{4-y^{2}}}{y*\wurzel{4-y^{2}} *\bruch{1}{\wurzel{4-y^{2}}}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{4-y^{2}}}\right)^{2}}\ dx}=y*\wurzel{4-y^{2}}\integral_{-\wurzel{4-y^{2}}}^{+\wurzel{4-y^{2}}}{ \bruch{1}{\wurzel{4-y^{2}}}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{4-y^{2}}}\right)^{2}}\ dx}[/mm]


Eine Stammfunktion zu

[mm]\bruch{1}{a}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^{2}}[/mm] ist:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{a}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^{2}} \ dx}=\arctan{\bruch{x}{a}}+C[/mm]

Daher gilt:

[mm]y*\wurzel{4-y^{2}}\integral_{-\wurzel{4-y^{2}}}^{+\wurzel{4-y^{2}}}{ \bruch{1}{\wurzel{4-y^{2}}}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{4-y^{2}}}\right)^{2}}\ dx}=y*\wurzel{4-y^{2}}*\left\arctan{\bruch{x}{\wurzel{4-y^{2}}}}\right|_{-\wurzel{4-y^{2}}}^{+\wurzel{4-y^{2}}}}[/mm]


>  Vielen Dank im Voraus!


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Integration von zwei Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Di 29.07.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich möchte noch auf einen Druckfehler hinweisen, der möglicherweise zu Deiner Verwirrung beigetragen hat:

dort, wo in der 2. Zeile dx steht, gehört ein dy hin, denn es wurde wie bereits erwähnt v. Zeile 1 zu Zeile 2  ja nach x integriert.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Integration von zwei Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Di 29.07.2008
Autor: sara_99

Ach so, alles klar, vielen Dank euch beiden! :)

Bezug
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