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Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zum Integrationsbereich von Doppelintegralen:
Wenn ich ein Doppelintegral habe, dessen Grenzen durch zwei Funktionen festgelegt wird und ein Teil des Bereiches befindet sich im negativen Bereich, muss ich den Integrationsbereich dann wie bei einem normalen Interal aufteilen, oder ist dieses nicht nötig, solange untere und obere Grenze eindeutig bestimmt ist?
Danke für Hilfe :)
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Hallo!
Naja, es kommt immer drauf an, was du mit dem Integral erreichen willst.
In der Schule zerlegst du die Fläche unter einer Funktion in senkrechte Streifen, und addierst deren Flächeninhalte. Das wird dann zu
[mm] A=\int_a^bf(x)\,dx
[/mm]
Allgemeiner kann man die Fläche auch statt in Streifen in kleine Quadrate zerlegen, und dann hast du ein Doppelintegral:
[mm] A=\int_a^b\left(\int_0^{f(x)}1\,dy\right)\,dx
[/mm]
Wenn f(x) auch negativ werden kann, benötigst du eine Zerlegung.
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Okay, meine Aufgabe lautet:
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{-y-1}^{-y^{2}+1}{xy^{2} dx dy}}
[/mm]
Muss ich die Grenzen dort zerlegen? Wenn ich es aufzeichne, befindet sich ein Teil im ersten und ein Teil im zweiten Quadranten. Da die Reihenfolge dx dy ist, müsste ich dann erst die Reihenfolge vertauschen (nach y aufteilen ist nicht möglich, da es für jedes y ein Teil des Bereiches negativ ist), um es dann nach x verlegen zu können? Oder kann ich an dem Integral direkt sehen, ob ich es aufteilen muss?
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Ist dieses Integral jetzt die Aufgabe oder die Umsetzung der Aufgabe durch dich? Wenn es nämlich die Aufgabe selbst ist, dann frage ich: Warum integrierst du nicht einfach? Es steht ja schon alles da. Wo ist da irgendetwas einzuteilen?
Das ist, als ob jemand, der den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite 10 und der zugehörigen Höhe 6 berechnen soll, fragen würde: Wie muß ich das Dreieck denn einteilen? Welche Winkel muß ich berechnen? Dabei könnte er einfach 1/2 mal 10 mal 6 gleich 30 rechnen.
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Also in der Aufgabe sind als Grenzen x + [mm] y^{2} [/mm] = 1 und x + y = 1 gegeben, die Funktionen habe ich aufgemalt und die Grenzen bestimmt. Ich frage mich jetzt nur, ob ich es berücksichtigen muss, dass die Funktion [mm] xy^{2} [/mm] bei negativen x-Werten ja negativ wird. Dann liegt doch die Kurve unterhalb der xy-Ebene und das Volumen ist negativ. Oder stelle ich mir das falsch vor?
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Da komme ich aber auf ganz andere Grenzen:
[mm]\int \limits_0^1 \int \limits_{1-x}^{\sqrt{1-x}} xy^2 ~ \mathrm{d} y ~ \mathrm{d} x \ \ \text{oder} \ \ \int \limits_0^1 \int \limits_{1-y}^{1-y^2} xy^2 ~ \mathrm{d} x ~ \mathrm{d} y[/mm]
Und um das Vorzeichen des Integranden mußt du dir keine Gedanken machen. Integrale können auch negative Werte haben. Oder sollst du ein Volumen ausrechnen? Das wäre dann eine ganz andere Aufgabe.
Bitte gib alle Details der Aufgabe an und laß dir nicht alles aus der Nase ziehen.
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Also, die Aufgabenstellung lautet einfach "Berechnen sie das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{D}^{}{xy^{2}) dxdy}} [/mm] wobei D durch x+y+1=0 und [mm] x+y^{2}=1 [/mm] begrenzt wird. Ich glaube, bei der einen Funktion hatte ich eben einen Tippfehler.
Wenn man so ein Integral lösen soll, handelt es sich dann nicht immer um das Volumen, was zwischen der Fläche des Integrationsbereiches in der xy-Ebene und der Funktion f(x,y) liegt? Wenn dann die Funktion teilweise unterhalt der xy-Ebene verläuft, ignoriert man den Teil dann? Danke für Ihre Geduld :)
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Hallo!
Ich denke, du hast da ein grundsätzliches Verständnisproblem von Integralen. Daher hier mal was total einfaches (hoffe ich)
Ich hab ja schon geschrieben, die Idee hinter einem Integral ist, das Integrationsgebiet in viele kleine Stücke zu teilen, und die dann aufzuaddieren.
Konkret nochmal, was ich oben schrieb:
Die Fläche unter der Funktion f(x) soll zwischen x=a und x=b berechnet werden. Dazu wird die Fläche in kleine Rechtecke der Breite und Höhe dx und dy zerlegt. Jedes Rechteck hat dann die Fläche dx*dy
Um nun die Gesamtfläche zu berechnen, bildet man die Summe, zuerst aller senkrecht übereinander liegenden Rechtecke in einer Spalte, ich schreib das mal so:
[mm] \sum_0^{f(x)}dx\,dy [/mm]
Und dann addiert man alle diese Spalten:
[mm] \sum_a^b\sum_0^{f(x)}dx\,dy [/mm]
Naja, und nun sind diese Rechtecke infinitesimal klein, und das Summenzeichen wird zu einem stilisierten S, dem Zeichen [mm] \int
[/mm]
Macht dann also [mm] \int_a^b\int_0^{f(x)}dx\,dy [/mm]
Nun eine neue Aufgabe: Stell dir eine dünne rechteckige Holzplatte der Höhe h und Breite b vor. Deren Oberfläche ist sicher A=h*b , läßt sich aber weiterhin als Integral schreiben: [mm] A=\int_0^h\int_0^bdxdy [/mm]
Jetzt sollst du die Masse der Platte bestimmen. Dummerweise ist die Dichte des Holzes nicht überall gleich, manche Bereiche stammen von einem älteren Bereich des Baumes, andere von jüngeren, und Astlöcher gibt es auch noch. Du kennst nun aber die Dichte [mm] \rho(x,y)=xy^2 [/mm] des Holzes. Die ist wie gesagt unterschiedlich. Betrachtest du an der Position (x,y) ein Rechteck aus der Platte, hat dieses die Masse [mm] \rho(x,y)*dx\,dy
[/mm]
Anschließend addierst du die Massen aller rechtecke, und kommst so auf
[mm] \int_0^h\int_0^b\rho(x,y)dx\,dy=\int_0^h\int_0^bxy^2\,dx\,dy
[/mm]
Von daher kannst du solche Integrale wenn, dann vielleicht als Masse eines Körpers mit nicht konstanter Dichte auffassen. Aber es kommt natürlich immer drauf an, was das Integral tatsächlich darstellen soll.
Jetzt zu der Sache mit dem Zerlegen:
Erstmal kommt es wieder darauf an, was du berechnen willst. Bei dem [mm] $\intf(x)dx$ [/mm] aus der Schule geht es ja meistens darum, die Fläche unter der Funktion zu berechnen. Ist in einigen Bereichen f(x)<0 , mußt du die gesondert berechnen.
Aber die Aufgabe kann auch anders interpretiert werden. Angenommen f(x) ist der Strom, der in einem der neuartigen Elektroautos aus dem Akku kommt. Negative Ströme bedeuten dann, daß der Akku geladen wird! Will man wissen, wieviel Ladung am Ende einer Fahrt noch im Akku ist, berechnet man auch das Integral. Allerdings sind die Vorzeichen nun wichtig! Da beachtet man die Bereiche mit f(x)<0 NICHT gesondert.
Was nun deine Aufgabe angeht: Mach dir erstmal klar, was das Integrationsgebiet ist! Sprich, zeichne die Funktionen, die als Grenzen angegeben sind! Das sieht hier so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die erste Grenze ist rot, die zweite ist grün/blau.
Es gibt hier nur ein einziges geschlossenes Gebiet, es überschneidet sich nicht ala f(x)<0.
Überlege dir, ob du erst in x- oder y-Richtung integrieren willst. Hier ist erst in x-Richtung vorteilhafter.
Berechne zuerst die y-Werte der beiden Schnittpunkte
Gibt dann linken und rechten x-Wert der beiden Funktionen für ein gegebenes y an.
Und dann:
[mm] $$\int_{y_{unten}}^{y_{oben}}\left(\int_{x_{links}(y)}^{x_{rechts}(y)}xy^2\,dx\right)dy$$
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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