Integrationsgrenzen 3fach Int. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:46 So 31.12.2006 | | Autor: | Farouk |
| Aufgabe | 1. $M1 [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 / x^2 + y^2 \le z\}$
[/mm]
$M2 [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 / x^2 + y^2 \le 2 - z\}$
[/mm]
Bestimme das Volumen des Durchschnitts der Teilmengen des [mm] IR^3
[/mm]
2. $M [mm] \{(x,y,z) / \in \IR^3 / z=1- (x-1)^2 -y^2\}$
[/mm]
Bestimme das volumen des Körpers K der von M und der x,y Ebene begrenzt wird.
3. $M:= [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 / z \le x^2+y^2 \le 4z \le 4\} [/mm] $
volumenbestimmung |
Hallihallo
ich habe mir drei Tage den Kopf über die bestimmung von Grenzen bei den Integralen zerbrochen aber ich brauche bitte hilfe.
Dies sind lauter Volumenaufgaben, die mit Hilfe von Dreifachintegralen gelöst werden müssen. Mein Problem ist nicht das Integral zu lösen sondern es mit den richtigen Grenzen hinzuschreiben!
Im IR ^2 geht es ja noch einigermassen sich es durch eine Zeichnung zu verdeutlichen aber im IR ^3 kann ich mir das absolut nicht vorstellen.
Vielleicht gibt es ein paar kleine Tricks wie man sich das ganze vorstellen kann (oder wie kann ich so eine Menge evtl.skizzieren?)
Ich habe auch die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben aber ich komme nicht selbst darauf. Mir ist schon klar dass das durch ändern in Zylinderkoordinaten passiert.
(ich habe fi nicht gefunden also schreibe hier stattdessen nu :-(
Bei Aufgabe 1 und 2 weiss ich gar nicht so recht wie ich rangehen muss. Bei aufgabe 3 sehe ich die Grenzen bis auf dass 0 [mm] \le [/mm] z sein muss
1. Lösung
C= {(r, /nu,z) / 1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le \nu \le [/mm] 2 [mm] \phi [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \wurzel [/mm] {2-z}}
2. Lösung:
C: C= {(r, /nu,z) / 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1, 0 [mm] \le \nu \le [/mm] 2 [mm] \phi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \wurzel [/mm] {1-z} }
hier weiss ich gar nicht wieso
Bei 3. kommt nach Umwandlung in Zylinderkoordintaten raus:
C= {(r, z, /nu) / 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1, [mm] \wurzel [/mm] {z} [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2 [mm] \wurzel [/mm] {z} , 0 [mm] \le \nu \le [/mm] 2 [mm] \phi [/mm] }
die grenzen für r sind mir klar, die kommen durch einsetzten der Zylinderkoordinaten zustande. Aber warum muss z grösser 0 sein?
So ich hoffe ich habe nicht allzuviele schreibfehler gemacht.
Wäre sehr dankbar für hilfe
Guten Rutsch
|
|
| |
|
Ich würde hier nicht formal mit Zylinderkoordinaten arbeiten, sondern so weit es geht mit Intuition.
Nehmen wir die erste Aufgabe. Durch die Ungleichungen
[mm]x^2 + y^2 \leq z \, , \ \ x^2 + y^2 \leq 2-z[/mm]
werden ja Punkte im dreidimensionalen Raum festgelegt. Alle diese Punkte bilden einen dreidimensionalen Bereich. Dessen Volumen ist zu bestimmen.
Wenn [mm]z[/mm] fest gewählt ist, bestimmen die Ungleichungen Kreisflächen. Offenbar muß dazu [mm]z \geq 0[/mm] sein (denn für [mm]z < 0[/mm] wäre die erste Ungleichung niemals erfüllbar, da [mm]x^2 + y^2[/mm] nicht negativ werden kann), und ebenso muß [mm]z \leq 2[/mm] sein (denn für [mm]z > 2[/mm] wäre die zweite Ungleichung niemals erfüllbar). Und damit liegt auch das [mm]z[/mm]-Intervall schon fest: [mm]z \in [0,2][/mm].
Nehmen wir ein konkretes [mm]z[/mm] als Beispiel, etwa [mm]z = 0{,}5[/mm]. Gesucht sind nun [mm](x,y)[/mm], so daß beide Ungleichungen erfüllt werden:
[mm]x^2 + y^2 \leq 0{,}5 \, , \ \ x^2 + y^2 \leq 1{,}5[/mm]
Die erste Ungleichung beschreibt einen Kreis vom Radius [mm]\sqrt{0{,}5}[/mm], die zweite einen solchen vom Radius [mm]\sqrt{1{,}5}[/mm]. Beide Kreise haben den Ursprung als Mittelpunkt. Damit sind es genau die Punkte [mm](x,y)[/mm] des ersten, weil kleineren Kreises, die beide Ungleichungen erfüllen. Und so ist das für alle [mm]z \in [0,1][/mm]. Für [mm]z \in [1,2][/mm] ist dagegen der zweite Kreis der kleinere. Nach Fubini ist das Volumen [mm]V[/mm] des gesuchten Bereichs dann
[mm]V \ = \ \int_{\begin{matrix} x^2 + y^2 \leq z \\ x^2 + y^2 \leq 2 - z \end{matrix}}~\mathrm{d}(x,y,z) \ = \ \int_0^2~\left( \int_{\begin{matrix} x^2 + y^2 \leq z \\ x^2 + y^2 \leq 2 - z \end{matrix}}~\mathrm{d}(x,y) \right)~\mathrm{d}z[/mm]
[mm]= \ \int_0^1~\left( \int_{ x^2 + y^2 \leq z }~\mathrm{d}(x,y) \right)~\mathrm{d}z \ + \ \int_1^2~\left( \int_{ x^2 + y^2 \leq 2 - z }~\mathrm{d}(x,y) \right)~\mathrm{d}z[/mm]
Und weil zuletzt die inneren Integrale Kreisflächen vom Radius [mm]\sqrt{z}[/mm] bzw. [mm]\sqrt{2-z}[/mm] berechnen, sind ihre Werte [mm]\pi z[/mm] bzw. [mm]\pi (2-z)[/mm].
(Die von dir angegebenen Zylinderkoordinaten passen übrigens nur zum zweiten Teilintegral ([mm]z \in [1,2][/mm]), das erste Teilintegral ([mm]z \in [0,1][/mm]) hast du nicht berücksichtigt. Oder hast du die Aufgabe falsch angegeben?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Farouk |
Die aufgabe ist schon richtig abgeschrieben. Es kommt jedenfalls 1/2 pi raus in meiner Lösung. Ich werde mir jetzt deinen Lösungsansatz mal durch den Kopf gehen lassen und nachrechnen ob das gleiche rauskommt.
vielen Dank schonmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 31.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
