Integrationsregeln (Aufgaben) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 14.02.2006 | | Autor: | thomasXS |
Hallo,
1.) Integrieren Sie:
e) [mm] \integral (4x^3+2x)dx
[/mm]
->Wie behandel ich diese Klammern??
f) [mm] \integral (0,5x^2 [/mm] - 4x +1)dx
= [mm] \bruch{1}{6}x^3dx
[/mm]
g) [mm] \integral [/mm] (t+1)dt
?
h) [mm] \integral [/mm] (2u - [mm] 6u^2)du
[/mm]
?
i) [mm] \integral [/mm] 2xdx
[mm] =x^2 [/mm] + C
j) [mm] \integral [/mm] x^2ndx
=x^3ndx + C
k) [mm] \integral [/mm] x^2n+1dx
= x^2n+2 + C
l) [mm] \integral [/mm] (n + 1)x^dx
Selbe Problem wie oben...
2.) Geben Sie die Stammfunktionen an:
f) f: x -> [mm] (1,5x-1)^3
[/mm]
Kann mir jemand den Lösungsweg beschreiben? Was genau mache ich, um eine Stammfunktion zu erhalten?
Danke für eure Antworten!
mfg
Thomas
PS: Wir haben heute in der Schule nur Definitionen aufgeschrieben und ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgaben lösen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 14.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Thomas,
also für diese Aufgaben brauchst du eigentlich nur eine "Integrationsregel", nämlich dass sich das Integral wie eine lineare Funktion verhält, d.h.
1. Konstante Faktoren kannst du "rausziehen":
[mm] $\int(a\cdot f(x))dx=a\int [/mm] f(x)dx$
2. Das Integral über eine Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale über die Funktionen:
[mm] $\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int [/mm] g(x)dx$
> e) [mm]\integral (4x^{3}+2x)dx[/mm]
> ->Wie behandel ich diese Klammern??
[mm] $\int(4x^{3}+2x)dx=4\int x^{3}dx+2\int [/mm] xdx$
> f) [mm]\integral (0,5x^{2}- 4x +1)dx[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{6}x^3dx[/mm]
Die beiden anderen Summanden darfst du nicht ignorieren!
> g) [mm]\integral (t+1)dt[/mm]
Hier gilt dasselbe wie bei e).
> h) [mm]\integral (2u -6u^{2})du[/mm]
Hier auch!
> i) [mm]\integral 2xdx[/mm]
> [mm]=x^2 + C[/mm]
Richtig! (Sollst du das immer mit dem $+C$ schreiben? Normalerweise ist bei diesem Aufgabentyp immer eine (also z.B. die einfachste) Stammfunktion gesucht, und das wäre ja diejenige mit $C=0$.
> j) [mm]\integral x^{2n}dx[/mm]
> [mm] $=x^{3n} [/mm] + C$
Leite dein Ergebnis mal ab. Du merkst, das kann nicht stimmen!
> k) [mm]\integral x^{2n+1}dx[/mm]
> $= [mm] x^{2n+2} [/mm] + C$
Hier gilt dasselbe wie bei j).
> l) [mm]\integral (n + 1)x^{?}dx[/mm]
> Selbe Problem wie oben...
Was ist der Exponent?
> 2.) Geben Sie die Stammfunktionen an:
>
> f) [mm]f(x)=(1,5x-1)^{3}[/mm]
>
> Kann mir jemand den Lösungsweg beschreiben? Was genau mache
> ich, um eine Stammfunktion zu erhalten?
Falls du die Substitutionsregel noch nicht kennst, bleibt dir nichts anderes übrig, als das Ganze auszumultiplizieren und das Integral wie in e) zu berechnen...
> PS: Wir haben heute in der Schule nur Definitionen
> aufgeschrieben und ich habe leider keine Ahnung, wie ich
> diese Aufgaben lösen kann...
Was meinst du mit Definitionen? 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 14.02.2006 | | Autor: | thomasXS |
HI Yuma
erstmal danke für Deine Antworten, allerdings ist mir noch einiges unklar:
[mm] \integral [/mm] (x - 3)dx = [mm] 0,5x^3 [/mm] - 3x + c
Wie komme ich hier auf das Ergebnis?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 14.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Thomas,
> erstmal danke für Deine Antworten, allerdings ist mir noch
> einiges unklar:
>
> [mm]\integral[/mm] (x - 3)dx = [mm]0,5x^3[/mm] - 3x + c
>
> Wie komme ich hier auf das Ergebnis?
Der Exponent sollte eine zwei sein, oder?
Du kannst das Integral über $x-3$ auseinander ziehen. Anschließend integrierst du erst über $x$ (das ist [mm] $\bruch{1}{2}x^{2}$) [/mm] und dann über 3 (das ist $3x$, denn wenn man $3x$ nach $x$ ableitet, kommt $3$ heraus).
Zusammen ergibt sich:
[mm] $\int (x-3)dx=\int xdx-\int3dx=\bruch{1}{2}x^{2}-3x$
[/mm]
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 14.02.2006 | | Autor: | thomasXS |
[mm] \integral (0,5x^2-4x+1)
[/mm]
Wie lautet hier das Ergebnis?
Meine Vermutung:
[mm] \bruch{1}{6}x^3dx [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] + 1x
Wo liegt hier der Fehler?
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 14.02.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Thomas,
> [mm]\integral (0,5x^2-4x+1)[/mm]
>
> Wie lautet hier das Ergebnis?
>
> Meine Vermutung:
>
> [mm]\bruch{1}{6}x^3dx[/mm] - [mm]4x^2[/mm] + 1x
... die Integrationsregel kannst du hier nachlesen:  Integrationsregel
beachte die "Potenzregel"
allgemein geht das so für ein beliebiges [mm] x^{n}:
[/mm]
[mm] \integral{f(x) dx}= \integral{x^{n}dx}=\bruch{x^{n+1}}{n+1}+C [/mm] für alle [mm] (C\in\IR) \wedge (n\in\IR [/mm] \ {-1})
wir zerlegen jetzt wieder dein Polynom in drei Teile
1. [mm] \bruch{1}{2}x²
[/mm]
2. 4x
3. 1
1. und 3. hast du bereits richtig gelöst, aber 2. nicht, wobei hier auch ein Tippfehler die Ursache sein könnte.
[mm] \integral{4x dx}= 4*\integral{x^{1} dx}=4*\bruch{x^{1+1}}{1+1}+C=\bruch{4*x^{2}}{2}+C=\bruch{4}{2}x²+C=2x²+C
[/mm]
o.k.
Liebe Grüße
Herby
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