Integrierbarkeit e^g(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Di 21.04.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | 1. Ist f [mm] \in F([a,b],\mathbb{R}) [/mm] integrierbar und es gibt ein k > 0 mit |f(x)| [mm] \ge [/mm] k [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b], so ist [mm] \frac{1}{f} [/mm] integrierbar.
2.Ist g [mm] \in F([a,b],\mathbb{R}) [/mm] integrierbar, dann gilt dies auch für: [mm] e^{g(x)} [/mm]
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Hallo zusammen,
ich habe obige Aufgabe zu bearbeiten und stehe bei Aufgabe 2 etwas auf dem Schlauch.
Aufgabe 1 habe ich folgendermaßen gelöst:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > o gegeben und f wie angegeben integrierbat, dann gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in T([a,b]\mathbb{R}) [/mm] mit:
[mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi
[/mm]
Und
[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx} \le \epsilon' [/mm] := [mm] \tau^2\epsilon
[/mm]
Es sei nun oBdA [mm] \phi \ge \tau, [/mm] dann gilt:
[mm] \frac{1}{\psi} \le \frac{1}{\f} \le \frac{1}{\phi} \le \frac{1}{\tau}
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \integral_{a}^{b}{\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{\psi(x)} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\frac{1}{f(x)\psi(x)(\psi(x) - f(x)} dx}
[/mm]
[mm] \le \frac{1}{\tau^2}\integral_{a}^{b}{\psi(x) - f(x) dx} \le \frac{\epsilon'}{\tau^2} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Den zweiten Besweis habe ich analog zu formulieren versucht, war dabei aber nicht erfolgreich. Ich scheitere daran, dass ich in den Exponenten der e-Funktion [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx} [/mm] < [mm] \epsilon' [/mm] := [mm] log(\epsilon) [/mm] bekommen möchte, das aber nicht schaffe.
Anmerkung: Bei meinem Prof ist log die Umkehrfunktion von e. Scheint nicht bei jedem Prof so zu sein.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal,
Theta
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Di 21.04.2009 | | Autor: | abakus |
> 1. Ist f [mm]\in F([a,b],\mathbb{R})[/mm] integrierbar und es gibt
> ein k > 0 mit |f(x)| [mm]\ge[/mm] k [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b], so ist
> [mm]\frac{1}{f}[/mm] integrierbar.
>
> 2. Ist f [mm]\in F([a,b],\mathbb{R})[/mm] integrierbar, so gilt dies
> auch für:
> [mm]e^{g}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe obige Aufgabe zu bearbeiten und stehe bei Aufgabe
> 2 etwas auf dem Schlauch.
>
> Aufgabe 1 habe ich folgendermaßen gelöst:
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > o gegeben und f wie angegeben integrierbat,
> dann gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in T([a,b]\mathbb{R})[/mm]
> mit:
> [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm]
> Und
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx} \le \epsilon'[/mm] :=
> [mm]\tau^2\epsilon[/mm]
>
> Es sei nun oBdA [mm]\phi \ge \tau,[/mm] dann gilt:
> [mm]\frac{1}{\psi} \le \frac{1}{\f} \le \frac{1}{\phi} \le \frac{1}{\tau}[/mm]
>
> Dann folgt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{\psi(x)} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\frac{1}{f(x)\psi(x)(\psi(x) - f(x)} dx}[/mm]
>
> [mm]\le \frac{1}{\tau^2}\integral_{a}^{b}{\psi(x) - f(x) dx} \le \frac{\epsilon'}{\tau^2}[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
>
>
> Den zweiten Besweis habe ich analog zu formulieren
> versucht, war dabei aber nicht erfolgreich. Ich scheitere
> daran, dass ich in den Exponenten der e-Funktion
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx}[/mm] < [mm]\epsilon'[/mm] :=
> [mm]log(\epsilon)[/mm] bekommen möchte, das aber nicht schaffe.
>
>
> Anmerkung: Bei meinem Prof ist log die Umkehrfunktion von
> e. Scheint nicht bei jedem Prof so zu sein.
>
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> Vielen Dank schon mal,
>
> Theta
Bitte überprüfe die Aufgabenstellung. Was ist dieses ominöse "g" im Exponenten der zweiten Aufgabe? Du hast es vorher nie erwähnt.
Gruß Abakus
>
>
>
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf
> keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo,
> Bitte überprüfe die Aufgabenstellung. Was ist dieses
> ominöse "g" im Exponenten der zweiten Aufgabe? Du hast es
> vorher nie erwähnt.
> Gruß Abakus
Na, das nenne ich mal ne gute Antwort.
Es gibt einen Mitteilungsbutton ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 21.04.2009 | | Autor: | Theta |
Verzeihung, da handelt es sich um einen Tippfehler.
Aufgabe 2 muss natürlich heißen:
Ist g [mm] \in F([a,b],\mathbb{R}) [/mm] integrierbar, dann gilt dies auch für:
[mm] e^{g(x)}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:41 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1. Ist f [mm]\in F([a,b],\mathbb{R})[/mm] integrierbar und es gibt
> ein k > 0 mit |f(x)| [mm]\ge[/mm] k [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b], so ist
> [mm]\frac{1}{f}[/mm] integrierbar.
>
> 2.Ist g [mm]\in F([a,b],\mathbb{R})[/mm] integrierbar, dann gilt
> dies auch für: [mm]e^{g(x)}[/mm]
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe obige Aufgabe zu bearbeiten und stehe bei Aufgabe
> 2 etwas auf dem Schlauch.
>
> Aufgabe 1 habe ich folgendermaßen gelöst:
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > o gegeben und f wie angegeben integrierbat,
> dann gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in T([a,b]\mathbb{R})[/mm]
> mit:
> [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm]
> Und
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx} \le \epsilon'[/mm] :=
> [mm]\tau^2\epsilon[/mm]
Was ist [mm] $\tau$?
[/mm]
> Es sei nun oBdA [mm]\phi \ge \tau,[/mm]
Warum darfst du das annehmen?
> dann gilt:
> [mm]\frac{1}{\psi} \le \frac{1}{f} \le \frac{1}{\phi} \le \frac{1}{\tau}[/mm]
>
> Dann folgt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{\psi(x)} dx}[/mm]
Moment -- du versucht zu zeigen, dass man [mm] $\frac{1}{f(x)}$ [/mm] integrieren kann, und verwendest dazu [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] in einem Intergral?! So geht das ganz sicher nicht!
> Den zweiten Besweis habe ich analog zu formulieren
> versucht, war dabei aber nicht erfolgreich. Ich scheitere
> daran, dass ich in den Exponenten der e-Funktion
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) - \phi(x) dx}[/mm] < [mm]\epsilon'[/mm] :=
> [mm]log(\epsilon)[/mm] bekommen möchte, das aber nicht schaffe.
Wenn [mm] $\phi, \psi$ [/mm] Treppenfunktionen mit [mm] $\phi \le [/mm] g [mm] \le \psi$ [/mm] sind, dann sind auch [mm] $e^\phi$, $e^\psi$ [/mm] Treppenfunktionen mit [mm] $e^\phi \le e^g \le e^\psi$.
[/mm]
Du musst also zeigen, dass man zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ die Treppenfunktionen [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm] so waehlen kann, dass [mm] $\int_a^b e^{\psi(x)} [/mm] - [mm] e^{\phi(x)} [/mm] dx < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt.
Offenbar muss $f$ auf $[a, b]$ beschraenkt sein (ansonsten kann man es gar nicht durch Treppenfunktionen nach oben und unten beschraenken), womit es ein $B > 0$ gibt mit $|f(x)| < B$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$. Und man kann alle Treppenfunktionen, die $f$ von oben oder unten beschraenken so waehlen, dass sie ebenfalls durch $B$ beschraenkt sind.
Die Differenz von [mm] $\psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x)$ [/mm] kann also hoechstens $2 B$ sein fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Diese Information kannst du jetzt nutzen. Es gilt naemlich [mm] $\exp(\psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x)) \le [/mm] 1 + [mm] (\psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x)) \cdot (\exp(2 [/mm] B) - 1)$ und somit [mm] $e^{\psi(x)} [/mm] - [mm] e^{\phi(x)} [/mm] = [mm] (\exp(\psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x)) [/mm] - 1) [mm] \exp(\phi(x)) \le (\psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x)) \cdot (e^{2 B} [/mm] - 1) [mm] \cdot e^B$.
[/mm]
Daraus wiederum folgt [mm] $\int_a^b e^{\psi(x)} [/mm] - [mm] e^{\phi(x)} [/mm] dx [mm] \le (e^{2 B} [/mm] - 1) [mm] e^B \int_a^b \psi(x) [/mm] - [mm] \phi(x) [/mm] dx$.
Damit solltest du jetzt zum Ziel kommen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Theta |
Danke, der Hinweis hat mir weitergeholfen.
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