Integrierbarkeit eines Vektorfeldes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 29.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie alle Funktionen [mm] f: \IR^3 \rightarrow \IR^3 [/mm] gegeben durch
[mm] v(x,y,z) = \begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ x^2 + yz^2 \\ y^2 z \end{pmatrix} [/mm]
eine Stammfunktion besitzt.
Im Script gibt es eine "Integrabilitätsbedingung", wofür ich aber die Hessematrix benutzen muss, was aber daran scheitert, dass ich nicht weiß, ob f überhaupt differenzierbar ist. Deswegen habe ich die Integrabilität auch aufgrund der Aufgabenstellung als Voraussung genommen.
Wie kann ich nun f bestimmen? Geht das irgendwie folgender Maßen:
[mm] \int v(x,y,z)\, d(x,y,z) = \begin{pmatrix} \int f(x,y,z)\, dx \\ \int x^2 + yz^2 \,dy \\ \int y^2 z \,dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F(x,y,z) +c(y,z) \\ \bruch{1}{2} y^2 z^2 + c(x,z) \\ \bruch{1}{2} y^2 z^2 + c(y,z)\end{pmatrix} [/mm]... ?
MfG, Hathorman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Micha,
> Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie alle Funktionen [mm]f: \IR^3 \rightarrow \IR^3[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm]v(x,y,z) = \begin{pmatrix} f(x,y,z) \\ x^2 + yz^2 \\ y^2 z \end{pmatrix} [/mm]
> eine Stammfunktion besitzt.
Die Aufgabe ist nicht ganz richtig wiedergegeben. Sie lautet:
Bestimmen sie alle [mm] $f:\IR^3\to \IR$, [/mm] für die das Vektorfeld $v$ eine Stammfunktion hat.
Anders formuliert: Ist $V$ die Stammfunktion des Vektorfelds $v$, so gilt:
grad V = v.
Insoweit habe ich überlegt, dass gilt
[mm] $\frac{\partial V}{\partial x}= [/mm] f(x,y,z)$
[mm] $\frac{\partial V}{\partial y}= x^2+yz^2 \Rightarrow V_2 [/mm] = [mm] yx^2+\frac{1}{2}y^2z^2$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial V}{\partial z}= [/mm] y^2z [mm] \Rightarrow V_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}y^2z^2$
[/mm]
Weiter bin ich aber auch noch nicht.
PS: Natürlich immer zuzüglich einer Konstanten [mm] c_i.[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stefan!
>Insoweit habe ich überlegt, dass gilt
[mm]\frac{\partial V}{\partial x}= f(x,y,z)[/mm]
[mm]\frac{\partial V}{\partial y}= x^2+yz^2 \Rightarrow V_2 = yx^2+\frac{1}{2}y^2z^2[/mm]
[mm]\frac{\partial V}{\partial z}= y^2z \Rightarrow V_3 = \frac{1}{2}y^2z^2[/mm]
Aus diesen Überlegungen folgt doch, dass
$V(x,y,z) = [mm] yx^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} yz^2 [/mm] + F(x)$
mit einer nur von $x$ abhängigen, differenzierbaren Funktion $F$ gelten muss.
Daraus ergibt sich:
[mm] $\frac{\partial V}{\partial x}(x,y,z) [/mm] = 2xy + F'(x)$.
Es folgt:
$f$ muss notwendigerweise von der Gestalt:
$f(x,y,z) = 2xy + [mm] \tilde{f}(x) [/mm] $
mit einer nur von $x$ abhängigen Funktion [mm] $\tilde{f}$ [/mm] sein (die auch konstante Terme enthalten darf).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Stefan,
danke, genau Deinen letzten Schritt habe ich nicht als Lösung empfunden. Aber wo ich das jetzt auch bei Dir lese, sind wir ja schon zwei, die dieser Meinung sind! Ich war immer noch der Auffassung, ich müßte [mm] $\tilde{f}(x)$ [/mm] noch genauer angeben.
Danke und gute Nacht
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