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Forum "Integration" - Integrieren mit Substitution
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Integrieren mit Substitution: Integral Berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Sa 24.01.2009
Autor: Octron

Aufgabe
Berechnen Sie das folgende Integral durch geeignete Substitution.

[mm] \integral_{}^{}{sin(\wurzel{x})dx} [/mm]

Hallo,

ich würde gerne das oben angegebene Integral bestimmen. Dafür hatte ich schon einmal [mm] \wurzel{x} [/mm] mit t substituiert. Dabei kam dann -cos(t) raus und dann beim resubstiutieren [mm] -cos(\wurzel{x}). [/mm] Ich glaube aber, dass ich mir das ein bisschen zu leicht gemacht habe. Stimmt das Integral so oder wie müsste ich anders vorgehen?


        
Bezug
Integrieren mit Substitution: konsequent
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Sa 24.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Octron!


Die Substitution $t \ := \ [mm] \wurzel{x}$ [/mm] ist der richtige Weg.

Hast Du denn auch anschließend das Differential $dx_$ durch die neue Variable $dt_$ ersetzt?

Es gilt:
[mm] $$\bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*t}$$ [/mm]

Anschließend erhältst Du ein Integral, welches Du partiell integreiren kannst.


Gruß
Loddar

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Integrieren mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Sa 24.01.2009
Autor: Octron

Ich habe jetzt so gerechnet, dass dx=2tdt ist und bin somit auf
[mm] 2*\integral_{}^{}{t*sin(t) dt} [/mm] gekommen. Und danach hab ich wieder ziemlich umständlich gerechnet. Ich habe gesagt, dass die Stammfunktion von sin(t)=-cos(t) ist. Danach hab ich -tcos(t) abgeleitet, da kam dann aber
-cos(t)-tsin(t)        raus.

Das entspricht aber nicht tsin(t). Also habe ich -tcos(t) mit sin(t) addiert, damit ich auf die richtige Ableitung komme. Gibt es da einen einfacheren Weg? Das war jetzt nämlihc ziemlich zeitintensiv für eine so kurze Aufgabe.

Stimmt das überhaupt, dass das Integral von tsin(t)=2(sin(t)-tcos(t)+c ist?
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Bezug
Integrieren mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Sa 24.01.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

deine Stammfunktion die du "berechnet" hast in völlig in Ordnung. Zum Ziel kommst du wie Loddar es mit der partiellen Integration vorgeschlagen hat.

Schau:

[mm] 2\integral_{}^{}{t\cdot{}sin(t)dt}=-t\cdot{}cos(t)-\integral_{}^{}{-cos(t)dt}=-t\cdot{}cos(t)+sin(t) \Rightarrow F(t)=2\cdot(sin(t)-t\cdot{}cos(t)) \Rightarrow \\F(x)=2\cdot(sin(\wurzel{x})-\wurzel{x}\cdot{}cos(\wurzel{x})) [/mm]

[guckstduhier]... ... ... MBIntegrationsregel (Definition der partiellen Integration)

Wenn du eine Stammfunktion gefunden hast dann kannst du sie ableiten denn es muss gelten: [mm] \\F'(x)=f(x) [/mm] :-)

[hut] Gruß
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Integrieren mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 24.01.2009
Autor: Octron

Vielen Dank. So sieht das doch alles schonmal viel leichter aus :) Ich vergesse alles, was ich Mathe hatte immer so schnell. Naja, bald ist Prüfung, bis dahin sollte ich dann wohl doch besser wieder alles wissen ^^
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