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| Aufgabe | Es soll gelten: [mm] P_{y}(x,y)-Q_{x}(x,y)=f(x)*Q(x,y)-g(y)*P(x,y).
[/mm]
zeigen sie das [mm] exp(\integral_{ }^{ }{f(x) dx}+\integral_{ }^{ }{g(y) dy}) [/mm] ein integrierender Faktor der dgl P(x,y)+Q(x,y)*y'=0 ist. |
ok ich hab ein paar probleme mit obriger aufgabe.
es gilt ja, dass [mm] exp(\integral_{ }^{ }{f(x) dx}+\integral_{ }^{ }{g(y) dy}) [/mm] = exp(F(x)+G(x)) ist.
setz ich das als integrierenden faktor vor die dgl und versuche dann a nach x zu integriegen.
-> [mm] U(x,y)=\integral_{ }^{ }{exp(F(x)+G(x))*P(x,y) dx}
[/mm]
ich denke jetzt soll ich die gegebee relation der funktionen benutzen um das integral lösen zu können. leider scheitere ich daran. wie soll ich hier was umformen, dass man das integral lösen kann?
schon mal danke für eure hilfe!
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Wenn [mm]F[/mm] bzw. [mm]G[/mm] Stammfunktionen von [mm]f[/mm] bzw. [mm]g[/mm] sind, dann lautet die Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor
[mm]P(x,y) \operatorname{e}^{F(x)+G(y)} ~ \mathrm{d}x \ + \ Q(x,y) \operatorname{e}^{F(x)+G(y)} ~ \mathrm{d}y \ = \ 0[/mm]
Und jetzt mußt du nur zeigen:
[mm]\frac{\partial}{\partial y} \left( P(x,y) \operatorname{e}^{F(x)+G(y)} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( Q(x,y) \operatorname{e}^{F(x)+G(y)} \right)[/mm]
Wenn man das einmal ausrechnet, erkennt man sofort die Äquivalenz zu der in der Aufgabe gemachten Voraussetzung.
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