Integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 30.03.2010 | | Autor: | phil974 |
| Aufgabe | Gegeben ist:
[mm] (1-x^{2}y) [/mm] dx + [mm] (x^{2}y [/mm] - [mm] x^{3})dy [/mm] = 0
Folgendes soll bearbeitet werden:
Ist die Funktion exakt ?
Integrierenden Faktor bestimmen
Allgemeine Lösung y(x) berechnen
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So bin ich vorgegangen:
Ist die DGL exakt ?
p = [mm] 1-x^{2}y
[/mm]
[mm] p_{y} [/mm] = [mm] -x^{2}
[/mm]
q= [mm] x^{2}y [/mm] - [mm] x^{3}
[/mm]
[mm] q_{x}= [/mm] 2xy - [mm] 3x^{2}
[/mm]
[mm] p_{y} \not= q_{x} \Rightarrow [/mm] nicht exakt
Jetzt habe ich glaube ich was übersprungen und direkt die 4 Ansätze durchprobiert:
[mm] \mu= \mu(x) \Rightarrow \bruch{\mu}{\mu'} [/mm] = [mm] \bruch {p_{y} - q_{x}}{q} [/mm]
[mm] \mu= \mu(y) \ldots
[/mm]
[mm] \mu= \mu(xy) \ldots
[/mm]
[mm] \mu= \mu(x+y) \ldots
[/mm]
Mein Problem ist, dass keine der Bedingungen aufgeht.
Rechenfehler ? Falscher Ansatz ?
Mir fehlt irgendwie, dass die Bedingung für [mm] \mu [/mm] erfüllt wird:
[mm] p_{y} [/mm] * [mm] \mu [/mm] + p * [mm] \mu_{y} [/mm] = [mm] q_{x} [/mm] * [mm] \mu [/mm] + q * [mm] \mu_{x}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 30.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Dividiere die Gleichung durch [mm] x^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 30.03.2010 | | Autor: | phil974 |
Okay, schon wird aus einer nicht exakten Gleichung eine exakte
[mm] p_{y} [/mm] = [mm] q_{x} [/mm] = -1
jetzt fallen die Bedingungen weg und ich muss das ganze wie lösen ? über die von mir vorhin gepostete gleichung ? ?
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Hallo phil974,
> Okay, schon wird aus einer nicht exakten Gleichung eine
> exakte
>
> [mm]p_{y}[/mm] = [mm]q_{x}[/mm] = -1
>
> jetzt fallen die Bedingungen weg und ich muss das ganze wie
> lösen ? über die von mir vorhin gepostete gleichung ? ?
>
>
Für die Lösung F(x,y) gilt dann:
[mm]F_{x} = \bruch{p\left(x,y\right)}{x^{2}} \ \Rightarrow F\left(x,y\right)= \integral_{}^{}{\bruch{p\left(x,y\right)}{x^{2}} \ dx}+C\left(y\right)[/mm]
Diese Funktion differenzierst Du jetzt nach y und
vergleichst das Ergebnis mit q(x,y).
Daraus ergibt sich dann das C(y) und somit auch die Funktion F(x,y).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 30.03.2010 | | Autor: | phil974 |
Hatte mir schon was zu dem Punkt rausgeschrieben, nur wieder königlich übersehen:
laut Finckenstein Band 2, S-20 Satz 2.5
u(x,y) = [mm] \integral_{x_{0}}^{x}{p(\alpha , y) d\alpha} [/mm] + [mm] \integral_{y_{0}}^{y}{q(x_{0}, \beta) d\beta}
[/mm]
mit [mm] y_{0}= x_{0} [/mm] = 0, da keine Anfangsbedingungen
u(x,y) = c
Das dürfte ja von der Kernaussage vergleichbar mit deiner Antwort sein.
Setze ich meine Werte ein, komme ich auf:
c= [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - yx + [mm] \bruch{1}{2}y^{2}
[/mm]
Ich traue dem Ergebnis aber nicht..........
P.S. Das mit der Erweiterung mit [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] habe ich einfach nicht gesehen, wie es manchmal so ist, aber war bei zwei, drei anderen Aufgaben hilfreich, danke nochmal für diesen "offensichtlichen Trick".
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Hallo phil974,
> Hatte mir schon was zu dem Punkt rausgeschrieben, nur
> wieder königlich übersehen:
>
> laut Finckenstein Band 2, S-20 Satz 2.5
>
> u(x,y) = [mm]\integral_{x_{0}}^{x}{p(\alpha , y) d\alpha}[/mm] +
> [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{q(x_{0}, \beta) d\beta}[/mm]
>
> mit [mm]y_{0}= x_{0}[/mm] = 0, da keine Anfangsbedingungen
>
> u(x,y) = c
>
> Das dürfte ja von der Kernaussage vergleichbar mit deiner
> Antwort sein.
>
> Setze ich meine Werte ein, komme ich auf:
>
> c= [mm]\bruch{2}{x}[/mm] - yx + [mm]\bruch{1}{2}y^{2}[/mm]
>
> Ich traue dem Ergebnis aber nicht..........
>
Dann rechne es doch nach.
Wie Du dann feststellen wirst, stimmt das Ergebnis bis auf [mm]\bruch{2}{x}[/mm].
>
> P.S. Das mit der Erweiterung mit [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] habe ich
> einfach nicht gesehen, wie es manchmal so ist, aber war bei
> zwei, drei anderen Aufgaben hilfreich, danke nochmal für
> diesen "offensichtlichen Trick".
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mi 31.03.2010 | | Autor: | phil974 |
Danke für die Hilfe !!
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