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| Aufgabe | Für die Differentialgleichung [mm] sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0 [/mm]
gebe man einen integrierenden Faktor M(t) an. Probe! |
Hallo,
so ich bin bis hierher gekommen:
f(t,y)=sin(y) --> [mm] f_{y}(t,y)=cos(y)
[/mm]
[mm] g(t,y)=\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}] [/mm] --> [mm] g_{t}(t,y)=\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}
[/mm]
[mm] M(t)=\bruch{f_{y}-g_{t}}{f}=\bruch{cos(y)-\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{sin(y)} [/mm]
Irgendwie wird daraus nix...
Was habe falsch gemacht?
Danke vorab.
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Hallo monstre123,
> Für die Differentialgleichung
> [mm]sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0[/mm]
> gebe man einen integrierenden Faktor M(t) an. Probe!
> Hallo,
>
> so ich bin bis hierher gekommen:
>
> f(t,y)=sin(y) --> [mm]f_{y}(t,y)=cos(y)[/mm]
>
> [mm]g(t,y)=\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}][/mm] -->
> [mm]g_{t}(t,y)=\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}[/mm]
>
> [mm]M(t)=\bruch{f_{y}-g_{t}}{f}=\bruch{cos(y)-\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{sin(y)}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{M'(t)}{M(t)}=\bruch{f_{y}-g_{t}}{\red{g}}[/mm]
Das bekommst Du aus der Bedingung
[mm]\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*f\left(t,y\right))}{\partial y}=\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*gf\left(t,y\right))}{\partial t}[/mm]
heraus, wobei [mm]M\left(t,y\right)=M\left(t\right)[/mm]
>
> Irgendwie wird daraus nix...
>
> Was habe falsch gemacht?
>
> Danke vorab.
Gruss
MathePower
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> Hallo monstre123,
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> > Für die Differentialgleichung
> > [mm]sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0[/mm]
> > gebe man einen integrierenden Faktor M(t) an. Probe!
> > Hallo,
> >
> > so ich bin bis hierher gekommen:
> >
> > f(t,y)=sin(y) --> [mm]f_{y}(t,y)=cos(y)[/mm]
> >
> > [mm]g(t,y)=\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}][/mm] -->
> > [mm]g_{t}(t,y)=\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}[/mm]
> >
> >
> [mm]M(t)=\bruch{f_{y}-g_{t}}{f}=\bruch{cos(y)-\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{sin(y)}[/mm]
> >
>
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]\bruch{M'(t)}{M(t)}=\bruch{f_{y}-g_{t}}{\red{g}}[/mm]
>
> Das bekommst Du aus der Bedingung
Achso, wenn ich jetzt M(y) gesucht hätte, wäre es [mm] M(y)=\bruch{g_{t}-f_{y}}{f} [/mm] , stimmts ?
>
> [mm]\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*f\left(t,y\right))}{\partial y}=\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*gf\left(t,y\right))}{\partial t}[/mm]
>
> heraus, wobei [mm]M\left(t,y\right)=M\left(t\right)[/mm]
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> >
> > Irgendwie wird daraus nix...
> >
> > Was habe falsch gemacht?
> >
> > Danke vorab.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo monstre123,
> > Hallo monstre123,
> >
> > > Für die Differentialgleichung
> > > [mm]sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0[/mm]
> > > gebe man einen integrierenden Faktor M(t) an. Probe!
> > > Hallo,
> > >
> > > so ich bin bis hierher gekommen:
> > >
> > > f(t,y)=sin(y) --> [mm]f_{y}(t,y)=cos(y)[/mm]
> > >
> > > [mm]g(t,y)=\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}][/mm] -->
> > > [mm]g_{t}(t,y)=\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]M(t)=\bruch{f_{y}-g_{t}}{f}=\bruch{cos(y)-\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{sin(y)}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]\bruch{M'(t)}{M(t)}=\bruch{f_{y}-g_{t}}{\red{g}}[/mm]
> >
> > Das bekommst Du aus der Bedingung
>
> Achso, wenn ich jetzt M(y) gesucht hätte, wäre es
> [mm]M(y)=\bruch{g_{t}-f_{y}}{f}[/mm] , stimmts ?
>
Dann stünde da: [mm]\bruch{M'(y)}{M(y)}=\bruch{g_{t}-f_{y}}{f}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*f\left(t,y\right))}{\partial y}=\bruch{\partial (M\left(t,y\right)*gf\left(t,y\right))}{\partial t}[/mm]
>
> >
> > heraus, wobei [mm]M\left(t,y\right)=M\left(t\right)[/mm]
> >
> > >
> > > Irgendwie wird daraus nix...
> > >
> > > Was habe falsch gemacht?
> > >
> > > Danke vorab.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:04 Mi 30.03.2011 | | Autor: | monstre123 |
> Hallo monstre123,
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> > > Hallo monstre123,
> > >
> > > > Für die Differentialgleichung
> > > > [mm]sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0[/mm]
> > > > gebe man einen integrierenden Faktor M(t) an. Probe!
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > so ich bin bis hierher gekommen:
> > > >
> > > > f(t,y)=sin(y) --> [mm]f_{y}(t,y)=cos(y)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]g(t,y)=\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}][/mm] -->
> > > > [mm]g_{t}(t,y)=\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}[/mm]
> > > >
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> > >
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[mm] M(t)=\bruch{f_{y}-g_{t}}{g}=\bruch{cos(y)-\bruch{1}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}cos(y)+\bruch{2*y^{2}}{3*t^{2}}}{\bruch{1}{3}[t*cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]}
[/mm]
Was kann ich hier noch verändern? ich muss ja irgendwie das y heraus bekommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Herby |
Hi,
bei deiner Ableitung nach t hast du jeweils ein t im Nenner unterschlagen - [mm] 2y^2/3t^\red{3} [/mm] müsste es doch heißen 
LG
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Herby |
Hi,
wenn mich nicht alles täuscht, dann hast du noch einen Vorzeichenfehler drin, denn es heißt [mm] \red{-}g_t [/mm] und dann solltest du eine Klammer setzen. Vielleicht hilft's
LG
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Warum in die Ferne schweifen, wenn das Gute liegt so nah ..........................
Multipliziere die DGL
$ [mm] sin(y)dt+\bruch{1}{3}[t\cdot{}cos(y)-\bruch{y^{2}}{t^{2}}]dy=0 [/mm] $
mit [mm] $3t^2$ [/mm] durch und Du erhältst eine exakte DGL.
Wenn Du mich fragst, wie ich darauf gekommen bin, kann ich Dir sagen: 2 Brüche haben mich "gestört" :
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{y^{2}}{t^{2}}.
[/mm]
Die hab ich erstmal "beseitigt", und siehe da, was rauskommt ist exakt !
FRED
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