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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Integrierender Faktor
Integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integrierender Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Sa 12.11.2011
Autor: Britta_lernt

Aufgabe
Prüfen Sie die folgenden DGls auf Exaktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor. Finden Sie die Lösungen der Gleichungen in impliziter Form, und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf.
[mm] a.)(2xy^4e^y+2xy^3+y)dx+(x^2y^4e^y-x^2y^4e^y-x^2y^2-3x)dy=0 [/mm]

[mm] b.)(1+2x^2y^2)dx+(yx^3)dy=0 [/mm]

Hallo Forum,

also bisher einen integrierenden Faktor gefunden und die Lösungen bestimmt:
a.) [mm] F(x,y)=x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x+c [/mm]

[mm] b.)F(x,y)=\bruch{1}{2}y^2x^4+\bruch{1}{2}x^2+c [/mm]

Was mich bei der Aufgabe jetzt verwirrt: Was ist mit "wenn möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf."
Was für einen Sinn hat das und welche GLeichung (Niveaulinien?)

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Beste Grüße
Britta

        
Bezug
Integrierender Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Sa 12.11.2011
Autor: rainerS

Hallo Britta!

> Prüfen Sie die folgenden DGls auf Exaktheit und bestimmen
> Sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor. Finden Sie
> die Lösungen der Gleichungen in impliziter Form, und, wenn
> möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf.
>  
> [mm]a.)(2xy^4e^y+2xy^3+y)dx+(x^2y^4e^y-x^2y^4e^y-x^2y^2-3x)dy=0[/mm]
>  
> [mm]b.)(1+2x^2y^2)dx+(yx^3)dy=0[/mm]
>  Hallo Forum,
>  
> also bisher einen integrierenden Faktor gefunden und die
> Lösungen bestimmt:
>  a.) [mm]F(x,y)=x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x+c[/mm]
>  
>  b.) [mm]F(x,y)=\bruch{1}{2}y^2x^4+\bruch{1}{2}x^2+c[/mm]

>

> Was mich bei der Aufgabe jetzt verwirrt: Was ist mit "wenn
> möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf."
> Was für einen Sinn hat das und welche GLeichung
> (Niveaulinien?)

Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die $F(x,y)$, sondern $F(x,y)=0$. Das heisst, die Niveaulinien der Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.

Kannst du im Fall a die Gleichung $F(x,y)=0$ nach y auflösen?

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Integrierender Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Sa 12.11.2011
Autor: Britta_lernt

Hallo Rainer,
danke für deine Antwort.


> Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die
> [mm]F(x,y)[/mm], sondern [mm]F(x,y)=0[/mm]. Das heisst, die Niveaulinien der
> Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.
>  
> Kannst du im Fall a die Gleichung [mm]F(x,y)=0[/mm] nach y
> auflösen?
>  

>Stimmt hbe ich total vergessen.
Also dann ist die Lösung von a

[mm] x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x= \alpha [/mm]
Hmmm also ich könnte die jetzt nicht auflösen. Nach x würde schon gehen.

Aber was hat das denn hier genau für einen Sinn wenn man das machen würde?

Grüße
Britta



Bezug
                        
Bezug
Integrierender Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:18 Sa 12.11.2011
Autor: fred97


> Hallo Rainer,
>  danke für deine Antwort.
>  
>
> > Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die
> > [mm]F(x,y)[/mm], sondern [mm]F(x,y)=0[/mm]. Das heisst, die Niveaulinien der
> > Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.
>  >  
> > Kannst du im Fall a die Gleichung [mm]F(x,y)=0[/mm] nach y
> > auflösen?
>  >  
> >Stimmt hbe ich total vergessen.
>  Also dann ist die Lösung von a
>  
> [mm]x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x= \alpha[/mm]
>  Hmmm also
> ich könnte die jetzt nicht auflösen. Nach x würde schon
> gehen.
>  
> Aber was hat das denn hier genau für einen Sinn wenn man
> das machen würde?
>  
> Grüße
>  Britta
>  
>  


Die Gl.



$ [mm] x^2e^y+x^2\cdot{}\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}\cdot{}x= \alpha [/mm] $

kannst Du nicht explizit nach y auflösen ! Die Lösungen der DGL sind also in impliziter Form gegeben. Man mag es bedauern, ändern kann man es nicht.

Manchmal hilft der Satz über implizit def. Funktionen weiter.

FRED

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