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| Aufgabe | | Die Gammafunktion P(x) nimmt in [mm] x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=4, x_{3}=5 [/mm] die Werte [mm] y_{0}=y_{1}=1, y_{2}=6,y_{3}=24 [/mm] an. Berechnen Sie das Interpolationspolynom niedrigsten Grades, ermitteln Sie damit einen Näherungswert für P(3) und vergleichen sie mit dem exakten Wert P(3)=2 |
An sich kann die Sache ja nicht schwer sein, aber mir ist die Vorgehensweise nicht bekannt. In meinen Aufzeichnungen steht das wieder mal so kompliziert da, dass ich nicht durchsehe.
Wäre also toll, wenn mir jemand die Vorgehensweise beschreiben kann oder an dem Beispiel mal zeigt, wie das ganze funktioniert.
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Die Gammafunktion P(x) nimmt in [mm]x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=4, x_{3}=5[/mm]
> die Werte [mm]y_{0}=y_{1}=1, y_{2}=6,y_{3}=24[/mm] an. Berechnen Sie
> das Interpolationspolynom niedrigsten Grades, ermitteln Sie
> damit einen Näherungswert für P(3) und vergleichen sie mit
> dem exakten Wert P(3)=2
>
> An sich kann die Sache ja nicht schwer sein, aber mir ist
> die Vorgehensweise nicht bekannt. In meinen Aufzeichnungen
> steht das wieder mal so kompliziert da, dass ich nicht
> durchsehe.
>
> Wäre also toll, wenn mir jemand die Vorgehensweise
> beschreiben kann oder an dem Beispiel mal zeigt, wie das
> ganze funktioniert.
Nun, da du nicht dabeigeschrieben hast wie ihr das in der VL gemacht habt: Es gibt im Prinzip zwei Moeglichkeiten, einmal man nimmt die Lagrange-Interpolationsformeln und setzt das ein (Lagrange-Interpolation), oder man loest von Hand das entsprechende Gleichungssytem.
Im zweiten Fall (Gleichungssystem) geht das so: Du hast vier verschiedene Stuetzstellen, also nimmst du dir ein allgemeines Polynom von Grad 3, etwa $p(x) = [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0$ [/mm] mit [mm] $a_0, \dots, a_3 \in \IR$. [/mm] Jetzt setzt du [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $y_i$ [/mm] in [mm] $p(x_i) [/mm] = [mm] y_i$, [/mm] $i = 0, [mm] \dots, [/mm] 3$ ein und erhaelst so vier lineare Gleichungen in den vier Unbestimmten [mm] $a_0, \dots, a_3$. [/mm] Wenn du das jetzt loest und die Loesungen fuer die [mm] $a_i$ [/mm] (es kommt genau eine Loesung heraus, wenn die [mm] $x_i$ [/mm] paarweise verschieden waren) in $p$ einsetzt, erhaelst du ein Polynom von hoechstens Grad 3 (es kann ja sein dass [mm] $a_3 [/mm] = 0$ ist oder auch noch [mm] $a_2 [/mm] = 0$, womit der Grad kleiner werden kann als 3), welches an den gegebenen Stellen [mm] $x_i$ [/mm] die gegebenen Werte [mm] $y_i$ [/mm] annimmt.
(Siehst du warum dieses Polynom das Polynom mit kleinstem Grad ist?)
HTH & LG, Felix
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Danke für deine Antwort, denke, dass ich das Schema verstanden habe.
Als Lösung wurde angegeben:
p(x)= 1+ [mm] \bruch{5}{6} (x-1)(x-2)+\bruch{13}{12}(x-1)(x-2)(x-4)
[/mm]
Wie kommt man darauf? Schätze mal, dass man dabei das Newton Interpolationsverfahren genommen hat. Dabei ist mir nicht ganz klar wie man auf die einzelnen Werte kommt.
[mm] P_{n}(x)=c_{0}+c_{1}(x-x_{0})+c_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})....
[/mm]
Bei dem allgemeinen Verfahren komme ich auf
[mm] a_{3}=\bruch{13}{12}
[/mm]
[mm] a_{2}=-\bruch{27}{4}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{38}{3}
[/mm]
[mm] a_{0}=-6
[/mm]
Wie kann ich von dieser Funktion dann auf das oben angegebene kommen? Dachte da an das Hornerschema, aber dazu brauche ich ja wieder die Nullstellen und davon sind 2 komplex.
mfg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 11.01.2006 | | Autor: | egidijux |
Hallo,
es wurde noch die Frage nach dem Naeherungswertes gestellt, was uns brennend interessieren wuerde.
Danke
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Hallöle,
es ist mir ja auch schon oft passiert, dass ich "auf dem Schlauch stand". Deshalb hier der Tip, der Euch vermutlich dazu veranlassen wird, Euch mit der flachen Hand an die Stirn zu schlagen (typischer Text:"Natürlich!" bzw. "Ach ja!")  ) .
Ihr habt ein Interpolationspolynom ("Näherungsfunktion") in Abhängigkeit von x. Ihr möchtet den Wert dieses Polynoms an der Stelle x=3 wissen....
Dämmert's ? 
Peter
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