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Guten Abend Allerseits,
ich bräuchte mal Hilfe im Bereich der linearen Interpolation. Gegeben sind folgende Diskontfaktoren:
[mm] d_1=0,9866
[/mm]
[mm] d_2=0,9668
[/mm]
[mm] d_3=0,8860
[/mm]
[mm] d_4=0,8690
[/mm]
Wenn jetzt der Diskontfaktor [mm] d_{1.5} [/mm] durch lineare Interpolation bestimmt werden soll - wie geht das? Habe mich im Internet bezüglich Interpolation eingelesen, aber hatte vorher noch nie Kontakt damit und dementsprechend bin ich leicht überfordert ;)
Über eine kurze Erläuterung wäre ich dankbar.
Gruß
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 17.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Es gibt verschiedene Wege, das zu erklären. Ich mach es mal über Geraden. Lineare Inerpolation heißt eine Gerade durch die beiden Punkte zu legen und dann über die Gerade die gewünschten Zwischenwerte zu bestimmen.
In Deinem Beispiel: [mm] $P_1:(1/0,9866)$ [/mm] und [mm] $P_2:(2/0,9668)$ [/mm] Aus diesen beiden Punkten berechnest Du eine Gerade g(x) und bestimmst dann g(1,5).
In diesem speziellen Fall geht es aber viel einfacher. 1,5 liegt in der Mitte zwischen 1 und 2. Damit liegt der gesuchte Wert in der Mitte zwischen 0,9866 und 0,9668.
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Hey ;)
Danke für deine Anregung und Hilfestellung. Ich habe mal eine eine Gleichung aufgestellt:
[mm]g(x)=-0,0198x+1,0064[/mm]
Der Fall für g(1.5) war vielleicht ein wenig unglücklich gewählt, ist er doch der Einfachste ;)
In Klausuren habe ich aber leider nicht die Zeit, Gleichungssysteme aufzustellen. Im Internet findet sich speziell für Diskontfaktoren folgende Formel:
[mm] d_t=\bruch{db-da}{b-a}*(t-a)+d_a
[/mm]
Leider habe ich keine genaue Definition der Variablen gefunden und für eine Klausur wäre mir eine "feste Formel" lieber zum interpolieren, als Gleichungssysteme aufzustellen ;(
Gibt es also Formeln, mit denen man schnell linear interpolieren kann? Diverse Suchmaschinen liefern mir leider keine brachbaren Infos - wenn doch, dann meist mathematisch zu komplex für mich ;=)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 18.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei Deiner Aufgabenstellung gibt es verschieden Möglichkeiten um zu einer Lösung zu kommen.
Eine Möglichkeit ist, durch die Punkte einen linearen Polygonzug zu legen. D.h. Du verbindest die einzelnen Punkte durch Geraden. In dem Fall ist die Formel für eine Interpolation die von Dir angegebene Formel
[mm] d_t=\bruch{d_b-d_a}{b-a}\cdot{}(t-a)+d_a [/mm] wobei [mm] a\le{t}\le{b}
[/mm]
Eine andere Möglichkeit ist, eine Ausgleichsgerade durch die vier Punkte zu legen. Hierbei wird die quadratische Fehlersumme durch eine entsprechende Wahl der Geradenparameter minimiert.
Im folgenden Bild sind die beiden Möglichkeiten dargestellt. Du kannst ja selbst entscheiden was besser zu Deinem Problem passt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Die Formel ist das Vorgehen mit der Geradengleichung, fertig durchgerechnet.
>
> [mm]d_t=\bruch{db-da}{b-a}*(t-a)+d_a[/mm]
>
[mm] $d_t$ [/mm] = das Ergebnis, der interpolierte Wert
[mm] $d_a$ [/mm] = der Funktionswert des einen Punktes (0,9866 in dem Beispiel)
[mm] $d_b$ [/mm] = der Funktionswert des anderen Punktes (0,9668 in dem Beispiel)
a und b sind die entsprechenden "x-Werte" also 1 und 2
Der Bruch ist damit die Geradensteigung, so lässt sich das vielleicht auch gut merken.
t ist der "x-Wert", an dem interpoliert werden soll (0,5 in dem Beispiel)
(t-a) ist das Stück, das man vom linken Wert in Richtung des rechts liegenden Wertes auf der x-Achse geht.
Zur Interpretation stelle ich einmal um:
[mm]d_t=d_a+\bruch{d_b-d_a}{b-a}*(t-a)[/mm]
Um den neuen Wert zu berechnen, setzt man sich als Startwert auf den linken Punkt: [mm] $d_a$. [/mm] Dann geht man das benötigte Teilstück in Richtung des rechten Punkts auf der x-Achse weiter. Durch Multiplikation mit der Geradensteigung wird der Anstieg (oder Abstieg) zum Zielpunkt in y-Richtung berechnet.
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Guten Morgen,
herzlichen Dank ullim, für deine visuelle Darstellung. Damit hast du mir die möglichen Wege sehr gut verdeutlichen können.
Chrisno, ich habe jetzt mal versucht, mit der Formel auf das Ergebnis zu kommen:
[mm] d_a=0,9866
[/mm]
[mm] d_b=0,9668
[/mm]
[mm]a=1[/mm]
[mm]b=2[/mm]
[mm]t=0,5[/mm]
[mm]d_t=\bruch{0,9668-0,9866}{2-1}*(0,5-1)+0,9866 = 0,9965[/mm]
Dieses Ergebnis ist ja leider nicht richtig. Es sollte doch 0,9767 heraus kommen, oder?
Wenn ich für (t-a) direkt 0,5 eingebe, passt es. Wo liegt mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
t ist 1,5.
(t-a) ist die Differenz also (1,5 - 1) = 0,5
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