Interpretation dx, dy, ... < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sehr geehrte ForenteilnehmerInnen
In allen Einführungsbüchern und Vorlesungsfoliensätzen zur Physik finden sich (in beinahe jeder Argumentation) Ausdrücke wie "dx", "dW", "ds" (Beispiel: "dW = Fds"). In meiner Analysisvorlesung sind solche Ausdrücke immer Teil der Notation von Ableitungen oder Integralen.
Ich fühle mich sehr unsicher im Umgang mit solchen Forneln und würde gerne wissen, um welche mathematischen Objekte es sich dabei handelt (reelle Zahle?, Tupel reeller Zahlen?, Funktionen (wovon)?)
Ich danke Euch ganz herzlich für Eure Antworten
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Hallo LeoSutter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Sehr geehrte ForenteilnehmerInnen
>
> In allen Einführungsbüchern und Vorlesungsfoliensätzen
> zur Physik finden sich (in beinahe jeder Argumentation)
> Ausdrücke wie "dx", "dW", "ds" (Beispiel: "dW = Fds"). In
> meiner Analysisvorlesung sind solche Ausdrücke immer Teil
> der Notation von Ableitungen oder Integralen.
>
> Ich fühle mich sehr unsicher im Umgang mit solchen Forneln
> und würde gerne wissen, um welche mathematischen Objekte
> es sich dabei handelt (reelle Zahle?, Tupel reeller
> Zahlen?, Funktionen (wovon)?)
>
Es handelt sich um Differentiale.
> Ich danke Euch ganz herzlich für Eure Antworten
Gruss
MathePower
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Hallo
Vielen Dank für die Antwort.
Ich kenne das totale Differential (als Synonym für die erste Ableitung). Wenn ich versuche, den Begriff anzuwenden, bekomme ich seltsame (falsche) Resultate. Offensichtlich habe ich etwas nicht richtig verstanden.
Einfaches Beispiel: Berechnung der Arbeit wenn ich gegen eine Feder drücke (Federkonstante k, Feder liegt horizontal auf der x-Achse):
- Gewünschtes Resultat: W(x, y) = [mm] \bruch{kx^{2}}{2} \Rightarrow dW_{(x, y)} [/mm] = (kx, 0)
- Dann aber auch s(x, y) = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] => [mm] ds_{(x, y)} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Das Produkt F(x, [mm] y)ds_{(x, y)} [/mm] = [mm] \vektor{kx \\ 0} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] existiert nicht.
Bestimmt habe ich irgendwo einen schrecklichen Anfängerfehler gemacht. Nur wo?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 20.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo LeoSutter,
> Einfaches Beispiel: Berechnung der Arbeit wenn ich gegen
> eine Feder drücke (Federkonstante k, Feder liegt
> horizontal auf der x-Achse):
> - Gewünschtes Resultat: W(x, y) = [mm]\bruch{kx^{2}}{2} \Rightarrow dW_{(x, y)}[/mm]
> = (kx, 0)
> - Dann aber auch s(x, y) = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] => [mm]ds_{(x, y)}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm] Das Produkt F(x, [mm]y)ds_{(x, y)}[/mm] =
> [mm]\vektor{kx \\ 0} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] existiert nicht.
>
> Bestimmt habe ich irgendwo einen schrecklichen
> Anfängerfehler gemacht. Nur wo?
Deine Ableitungen sind richtig. Ich bin mir nicht sicher,
weshalb du die Ableitungen multiplizieren willst, aber
vielleicht musst du genau andersrum multiplizieren?
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\vektor{kx \\ 0}=I_2*\vektor{kx \\ 0}=\vektor{kx \\ 0}.
[/mm]
Ich stell die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 20.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Erst einmal ist nicht das totale Differential gemeint.
gegeben: $F(x) = kx$
Defintion der Arbeit: $dW = F(x)dx = kx dx$
[mm] $\int_0^W(s) [/mm] dW' = [mm] \int_0^s [/mm] kx dx$
$W(s) = [mm] \bruch{1}{2} ks^2$
[/mm]
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Ich danke Euch allen!
Beispiele wie das oben Genannte kann ich durch Berechnung des Linienintegrals lösen. Die d-Ausdrücke sind dann wieder Teil der Integralnotation und das "Skalarprodukt" "Fds" ist dann wieder ein ganz gewöhnliches, euklidisches Skalarprodukt.
Die Herangehensweise, die Du, chrisno, im anderen Ast der Diskussion beschrieben hast, finde ich gut. Aufstellen von Approximationen mit endlichen Grössen und expliziter Grenzwertübergang helfen mir sehr beim Verstehen vieler Probleme.
Sollte es so sein, dass "Fds" eine "wörtliche" Bedeutung hat, möchte ich diese trotzdem sehr gerne verstehen. Es scheint mir so, als erlaube diese Notation ein sehr effizientes Rechnen.
Zum Beispiel hier: Herr Demtröder (Physikbuchautor) leitet die barometrische Höhenformel in nur vier Rechenschritten her. Einer davon ist "[mm]dp = - \bruch{\rho_0}{p_0}gpdh[/mm] Integration liefert [mm]ln(p)=- \bruch{\rho_0}{p_0}gh + C[/mm]". Mit meinem derzeitigen Verfahren muss ich dazu eine Differentialgleichung lösen, während Herr Demtröder einfach ohne Weiteres dividiert. (Natürlich hängt p von h ab).
Wenn es sich bei diesen d-Ausdrücken nicht um totale Differentiale (erste Ableitungen) handelt, worum dann? Gibt es eine Definition? Gibt es Rechenregeln?
Dankend
Leo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leo,
> Ich danke Euch allen!
>
> Beispiele wie das oben Genannte kann ich durch Berechnung
> des Linienintegrals lösen. Die d-Ausdrücke sind dann
> wieder Teil der Integralnotation und das "Skalarprodukt"
> "Fds" ist dann wieder ein ganz gewöhnliches, euklidisches
> Skalarprodukt.
>
> Die Herangehensweise, die Du, chrisno, im anderen Ast der
> Diskussion beschrieben hast, finde ich gut. Aufstellen von
> Approximationen mit endlichen Grössen und expliziter
> Grenzwertübergang helfen mir sehr beim Verstehen vieler
> Probleme.
>
> Sollte es so sein, dass "Fds" eine "wörtliche" Bedeutung
> hat, möchte ich diese trotzdem sehr gerne verstehen. Es
> scheint mir so, als erlaube diese Notation ein sehr
> effizientes Rechnen.
>
> Zum Beispiel hier: Herr Demtröder (Physikbuchautor) leitet
> die barometrische Höhenformel in nur vier Rechenschritten
> her. Einer davon ist "[mm]dp = - \bruch{\rho_0}{p_0}gpdh[/mm]
> Integration liefert [mm]ln(p)=- \bruch{\rho_0}{p_0}gh + C[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
". Mit
> meinem derzeitigen Verfahren muss ich dazu eine
> Differentialgleichung lösen, während Herr Demtröder
> einfach ohne Weiteres dividiert. (Natürlich hängt p von h
> ab).
>
> Wenn es sich bei diesen d-Ausdrücken nicht um totale
> Differentiale (erste Ableitungen) handelt, worum dann? Gibt
> es eine Definition? Gibt es Rechenregeln?
ich sag's mal so: Eigentlich ist die Differentiation und auch die Integration
eine "Operatorfunktion". Wenn Du
$\int f(x)dx$
siehst, muss man dem $dx\,$ noch nicht mal wirklich eine Bedeutung geben.
(Ich schreibe durchaus auch des öfteren einfach $\int f$ für eine Stammfunktion
von $f\,,$ und damit bin ich nicht wirklich alleine...)
Ist etwa $f\,$ stetig, so kann dieses Symbol für eine Stammfunktion des
Integranden (der Funktion $f\,$) stehen - ich sage "kann", weil es durchaus
auch direkt für die Klasse aller Stammfunktionen verwendet werden kann.
Da muss man mal ein wenig gucken, was der Autor da genau meint.
Nun gibt es durchaus auch die Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, da
findet man schon sogar sowas komisches wie
$\int f(x) d \mu(x)\,.$
Schonmal gesehen? Maß- und/oder Wahrscheinlichkeitstheoretiker freuen
sich etwa über Zusammenhänge zwischen dem Riemann-Integral und dem
"obigen Integralzeichen", wenn da das Lebesgue-Maß steht.
Ferner kannst Du auch einfach mal nach sogenannten (Riemann-) Stieltjes
Integralen gucken - auch das ist sozusagen eine Verallgemeinerung des
uns bekannten (gewöhnlichen) [Riemann-]Integralbegriffs.
Soviel erstmal dazu, was es denn eigentlich alles gibt. (Und das ist noch
lang' nicht alles - es gibt sogar sowas wie "verallgemeinerte Funktionen"
-> Distributionentheorie).
Aber bleiben wir doch einfach mal elementar: Wenn Du eine Funktion
$f \colon \IR \to \IR$
hast, die differenzierbar ist, so weißt Du doch
$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\,.$
Man schreibt nun einfach kurz (nach Leibniz):
$f'(x_0)=\left.\frac{df}{dx}(x)\right|_{x=x_0}\,.$
Warum? Naja, setze mal:
$\Delta f(x_0):=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\,.$
Dann
$\left.\frac{df}{dx}(x)\right|_{x=x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}\,.$
Es ist sich für uns nicht wirklich vorstellbar, aber so eine Idee könnte es
also sein, dass man sich bei
$\left.\frac{df}{dx}(x)\right|_{x=x_0}$
halt vorstellt, dass das $\Delta x$ in
$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$
betragsmäßig *unendlich klein* (aber trotzdem ungleich Null) ist. (Kennst Du
eigentlich die "Riemannsche Integrationsidee mit 'Rechtecken'? " Du hast da
ja quasi sowas wie *immer kleiner werdende Rechteckbreiten $\Delta x$...*
Nur, um nochmal daran zu erinnern, ohne es genau[er] auszuführen...) Ob
es dahingehend auch Sinn machen könnte, sich mal mit der
![[]](/images/popup.gif) Nichtstandardanalysis
zu befassen, weiß ich nicht. Denn in dem letztgenannten Bereich kenne
ich mich nicht aus. Aber im Endeffekt kann man oft sagen, dass diese
Leibnizsche Notation 'algebraisch das erkennen läßt', was man sich
analytisch durch einen (sauberen) Beweis herleiten kann. So kann man
etwa unter gewissen Voraussetzungen an Funktionen
$g [mm] \colon [/mm] L [mm] \to \IK,$ [/mm] $h [mm] \colon [/mm] M [mm] \to \IR$
[/mm]
sich ja schon fast denken, dass es wohl eine Formel der Art
$(g [mm] \circ [/mm] h)'(x)=...$
gibt. Jetzt nehmen wir an, Du sitzt in einer Prüfung, und hast *dummerweise*
gerade 'nen totalen Blackout und die Kettenregelformel vergessen. Der
Prüfer will aber erst von Dir wissen, bevor Du da 'nen Riesenbeweis
anfängst, wie denn diese Formel überhaupt aussieht. Dann sagst Du halt:
Moment, ich überlege mir das mal gerade kurz und schreibst etwas unsauber:
[mm] $(\*)$ $\frac{d(g \circ h)(x)}{dx}=\frac{dg(h(x))}{dx}=\frac{dg(h(x))}{dh(x)}*\frac{dh(x)}{dx}=g'(h(x)) \cdot h'(x)\,.$
[/mm]
(Unsauber ist etwa die Notation [mm] $dg(h(x))/dh(x)\,$...)
[/mm]
Algebraisch sieht das nun so aus, als wenn Du sowas gerechnet hättest
wie
[mm] $\frac{a}{d}=\frac{a}{b}*\frac{b}{d}\,,$
[/mm]
was ja nur eine "Brucherweiterung" ist. Und genau das ist der Vorteil:
Die Kettenregel
Satz 13.7
beinhaltet gerade, dass Du so rechnen *darfst*. Und sowas wie
[mm] $\frac{dg(h)}{dh}$
[/mm]
ist ja *nur* eine Notation für
[mm] $g'(h)\,,$
[/mm]
jedenfalls symbolisch. Wenn Du oben
[mm] $\frac{dg(h(x))}{dx}=\frac{dg(h(x))}{dx}*\frac{dh}{dh}$
[/mm]
geschrieben hättest - hättest Du dann was gewonnen? Doch wohl nicht...
Aber was Du auch hättest schreiben können: Sei [mm] $\Delta [/mm] x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann
[mm] $\frac{(g \circ h)(x+\Delta x)-(g \circ h)(x)}{\Delta x}=\frac{(g \circ h)(x + \Delta x)-(g \circ h)(x)}{h(x+\Delta x)-h(x)}*\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}=\frac{g(\;h(x + \Delta x)\;)-g(\; h(x)\;)}{h(x+\Delta x)-h(x)}*\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\,,$
[/mm]
wobei man das so nicht immer machen kann - denn es wird für uns
problematisch, wenn
[mm] $h(x+\Delta [/mm] x)-h(x) = [mm] 0\,$
[/mm]
sein sollte. Sollta das aber (zumindest für genügend betrags-kleine) [mm] $\Delta [/mm] x$
ausschließbar sein, so können wir uns (wenn wir die Voraussetzungen der
Differenzierbarkeit an den entsprechenden Stellen, die in Satz 13.7 stehen,
beachten) überlegen, dass genau die Formel
$(g [mm] \circ h)'(x_0)=g'(h(x_0))*h'(x_0)$
[/mm]
herauskommen wird - bei [mm] $\Delta [/mm] x [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Und etwa die Rechnung in [mm] $(\*)$ [/mm] wird nun eigentlich erst durch den Beweis
von Satz 13.7 legitimiert.
Was man halt so grob sagen kann: Oft kann man einfach symbolisch mit
[mm] $dx,\, [/mm] dh, [mm] ...\,$ [/mm] rechnen, um überhaupt eine Idee zu bekommen, was man
denn für eine Formel beweisen will. Man rechnet da aber relativ *gedankenlos*,
in dem Sinne, dass man einfach hofft, dass alles, was man tut, sich auch
rechtfertigen läßt. Die Gedankenlosigkeit wird im Laufe der Jahre durch
Erfahrung etwas *stabiler*, so dass man manchmal wenigstens einige
oder viele Schritte schon während der Rechnung begründen kann.
Bei der Differentiation kann man oft "grob" sowas wie $dx [mm] \approx \Delta [/mm] x$ mit einem
"genügen (betrags-)kleinen" [mm] $\Delta [/mm] x$ *approximieren*, und bei der
Berechnung von bestimmten Integralen (sozusagen von Integralwerten)
geht das auch. Mehr die Bedeutung *symbolischer Natur* wird das Ganze
bei unbestimmten Integralen, wenngleich auch da es möglich ist, wenn
man sich etwa den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung anschaut.
Übrigens, so grob hast Du das vielleicht auch schonmal in der Schule
gemacht:
Wenn Du sowas wie
[mm] $\int [/mm] f(g(x))*g'(x)dx$
gesehen hast, dann habt ihr vielleicht gesagt:
Wir substituieren
[mm] $z:=g(x)\,,$ [/mm] (das sollten wir uns auch mal eher in Anführungszeichen denken!)
dann ist
[mm] $z'=\frac{dz}{dx}=g'(x)$
[/mm]
und damit
[mm] $dz=g'(x)dx\,.$
[/mm]
Also
[mm] $\int f(g(x))*g'(x)dx=\underbrace{\int f(z)\;dz}_{\text{wir schreiben nicht(!) }\int f(z) \red{\,*\,}dz, \text{also keinen Malpunkt vor }dz}=F(z)\stackrel{z=g(x)}{=}\glqq F(g(x))\grqq=F \circ g\,,$
[/mm]
wobei [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f\,$ [/mm] ist.
Und wenn wir jetzt auch mal einen Blick in
Satz 22.4
werfen:
Wenn wir
[mm] $y'(t)=g(t)*h(y(t))\,$
[/mm]
sehen, dann schreiben wir einfach mal, als wenn wir das dürften:
[mm] $\frac{y'(t)}{h(y(t))}=g(t)$
[/mm]
geht über in
[mm] $\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{\blue{dt}}=g(t)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\red{\int}\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{\blue{dt}}\red{dt}=\red{\int}g(t)\red{dt},$
[/mm]
also
[mm] $\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(t)dt\,.$
[/mm]
Und auch, wenn man vielleicht nicht wirklich weiß, warum das, was man
da gemacht hat, auch wirklich so funktioniert (das kann man sich schon
klarmachen, wenn man sich ein wenig mehr Gedanken dazu machen will):
Aber ist es nicht schon toll, dass wir, nur, weil wir einfach mal *algebraisch*
so getan haben, als wenn wir da nur "mit Brüchen rechnen würden", am
Ende durchaus eine sinnvolle *Lösungsformel* gefunden haben?
(Schau' Dir mal genau an, was in Satz 22.4 steht!)
Und das war auch immer so das Fazit, was mir mein Prof. in Analyis
vermittelt hat:
Wenn man etwa derartige Differentialgleichungen lösen will und erstmal
nicht sieht, welche Sätze denn helfen könnten, um überhaupt zu einer
Lösung zu kommen:
Am besten rechnet man das einfach erstmal so *naiv* durch, und wenn
man am Ende dann was vernünftiges hat, was sich meinetwegen auch
durch ein, zwei *Testfälle* bestätigt:
Dann schaut man nun nach, wie das, was man da einfach mal nur durch
*blindes, aber wie gewöhnlich bekannt(es)* Umformen hergeleitet hat,
nun auch sauber beweisen kann.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Fr 21.03.2014 | | Autor: | LeoSutter |
Tatsächlich kenne ich einige Dinge, von denen Du schreibst z.B. das Riemann-Integral. Andere Dinge kenne ich nicht wie beispielsweise das Lebesgue-Maß. Dies ist wohl auch mein Fazit aus dieser Diskussion: ich muss mehr Erfahrung mit der Mathematik sammeln.
Was mich störte, war, dass mir die Erfahrung fehlt, für die Formeln im Physikbuch formale Beweise zu finden. Z.T fehlen mir gar die Konstrukte, um sie überhaupt irgendwie interpretieren zu können (meine Uni führte beispielsweise die physikalische Arbeit Monate vor dem Linienintegral ein). Manchmal habe ich das Gefühl, als Student nicht zum Zielpublikum von Einführungsbüchern zu gehören.
Ich werde also mit dem Studium der Mathematik fortfahren (es dauert immer so unendlich lange, bis ich etwas verstehe!). Wenn ich konkrete Fragen habe, werde ich diese einzeln im Forum stellen.
Ich danke Euch allen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tatsächlich kenne ich einige Dinge, von denen Du schreibst
> z.B. das Riemann-Integral. Andere Dinge kenne ich nicht wie
> beispielsweise das Lebesgue-Maß. Dies ist wohl auch mein
> Fazit aus dieser Diskussion: ich muss mehr Erfahrung mit
> der Mathematik sammeln.
>
> Was mich störte, war, dass mir die Erfahrung fehlt, für
> die Formeln im Physikbuch formale Beweise zu finden. Z.T
> fehlen mir gar die Konstrukte, um sie überhaupt irgendwie
> interpretieren zu können (meine Uni führte beispielsweise
> die physikalische Arbeit Monate vor dem Linienintegral
> ein).
das ist ein Manko, was ich schon des öfteren gehört habe - grob gesagt:
Die Physiker brauchen schon an gewissen Stellen Mathematik, die aber
in der Mathematikvorlesung noch nicht bereitgestellt wurde. Nun bin ich
kein Physikstudent (gewesen) und kann es daher nicht beurteilen, aber
so grob kann ich sagen, dass die Mathematik direkt am Anfang wohl ihren
*Strukturaufbau* nicht gerecht werden würde, wenn man einfach mal so
schon Dinge bereitstellt, die noch nicht formal hergeleitet/bewiesen
worden sind.
Andererseits sind es aber auch gerade *derartige Spielereien*, die sowohl
die Mathematik als auch die Physik fordern und fördern. Zum Beispiel die
Art und Weise, wie ich mal diese Differentialgleichung *gelöst* habe. Ich
denke, dass dieser formale Satz, den ich zitiert habe, dem ganzen eher
dann *Hand und Fuß* gibt, aber nicht, dass jemand durch *wir probieren
mal, solche DGLn genügend oft "zu lösen"* einfach mal diese Formel
eingefallen war - sonderen eher, dass jemand das ähnlich wie ich einfach
mal *locker* durchgerechnet hat.
Jedenfalls, was mir so grob aufgefallen war, von dem, was ich so höre:
Anscheinend ist die Kommunikation zwischen den Dozenten für
*Mathematik für Physiker* und den Physikdozenten nicht wirklich optimal.
Jedenfalls war das bisher immer mein Eindruck, wenn ich mit jemanden
diskutiert habe, dass da eine Physikaufgabe gelöst werden soll, die mehr
Mathematik braucht als das, was die Physiker schon zur Hand haben.
Vielleicht täuscht mich mein Eindruck da aber auch...
Was ich jedenfalls sagen wollte: Du bist nicht alleine mit Deinem Problem,
jedenfalls habe ich derartiges schon desöfteren mitbekommen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Sa 22.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Bei uns an der Uni wird auch Mathematische Physik (I-IV) angeboten.
Diese Vorlesung wird von einem Professor gehalten, der auch
Analysis (I-III) hält, sodass man im Grunde alles hinterfragen
kann. Vielleicht braucht man auch so einen Kurs in seinem
Studium, damit man die "Brücke" schließen kann? Ich bin mir
nicht sicher, ob so etwas überall angeboten wird, aber ich
habe gehört, dass die Vorlesung vor Allem Physiker sehr hilft
ihre "Brücke" zur Mathematik zu schließen.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 20.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Diese Schreibweise ist bei Physikern und Ingenieuren beliebt. Sie erlaubt einen anschaulichen Zugang um die Gleichungen herzuleiten.
Zuerst kann man von zum Beispiel sehr kleinen Wegstücken ausgehen. Um die Arbeit $W = F * s$ zu berechnen, wenn die Kraft vom Ort abhängt, wird dann für ein kurzes Stück F als konstant angenommen und damit die Arbeit zu [mm] $\Delta [/mm] W = F(s) * [mm] \Delta [/mm] s$. Dann wird die Bildung des Grenzwertes durch den Wechsel von [mm] $\Delta$ [/mm] zu d gekennzeichnet $dW = F(s) * ds$. Das praktische an der Notation ist, dass man nun einfach nur noch ein Integralzeichen davor schreibt und mit [mm] $\int [/mm] dW = [mm] \int [/mm] F(s) * ds$ mit den geigneten Grenzen zu der gewünschten Funktion W(s) kommt. Auch lassen sich Differentialgleichungen so erstellen und lösen. Beispiel: die Anzahl der zerfallenden Kerne (Ableitung der Zahl der Kerne nach der Zeit) ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Kerne: [mm] $-\bruch{dN}{dt} [/mm] = c * N$ Mittels "Bruchrechnung" wird daraus: [mm] $-\bruch{dN}{N} [/mm] = c * dt$. Integralzeichen davor ....
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Die "Symbole" dx, dy usw. sind "reell" und haben eine Bedeutung, die über das Formale hinausgeht. Wenn du Physik studierst und diese Bedeutung anschaulich (!!!) nicht verstehst, wirst du keinen Erfolg haben.
Zunächst doch rein formal: Natürlich kann man unter [mm] \integral{f} [/mm] einfach die Stammfunktion F verstehen, aber damit kann kein Physiker arbeiten, wenn er z.B. Differenzialgleichungen selber erstellen soll.
Zunächst ein Beispiel, warum auf dx (oder ein anderes d.) nicht verzichtet werden kann:
Gesucht: [mm] \integral{x^4}dx. [/mm] Ich lasse nun das dx weg und schreibe nur [mm] \integral{x^4}. [/mm] Jetzt kürze ich ab: [mm] y=x^4, [/mm] suche also [mm] \integral{y}= \bruch{1}{2}y^2 =\bruch{1}{2}x^8.
[/mm]
Ein bisschen falsch - oder? Wo liegt der Fehler? Wenn das Ganze so funktionieren würde, könnte ich jeden Term als y abkürzen, dann [mm] \integral{y}= \bruch{1}{2}y^2 [/mm] hinschreiben und schon hätte ich auch die komplizierteste Funktion integriert.
Nun könnte man sagen: Die Substitution [mm] y=x^4 [/mm] ist nicht erlaubt - aber warum nicht? Ein Physiker braucht so etwas andauernd!
Das dx erlaubt uns, die Substitution durchzuführen und trotzdem zum richtigen Ergebnis zu gelangen.
y = [mm] x^4 \Rightarrow \bruch{dy}{dx}=4 x^3 \Rightarrow [/mm] dy = [mm] 4x^3 [/mm] dx [mm] \Rightarrow \bruch{dy}{4x^3}= [/mm] dx.
Also ist [mm] \integral{x^4}dx [/mm] = [mm] \integral{y}dx =\integral{y} \bruch{dy}{4x^3}
[/mm]
Dieses Integral enthält neben y immer noch die Variable(!) x, wir können deshalb nicht weiter integrieren (und daher auch keinen Fehler machen), so lange das x nicht verschwindet. Deshalb müssen wir nun [mm] x^3 [/mm] durch y ausdrücken:
[mm] x=\wurzel[4]{y} \Rightarrow x^3=y^{\bruch{3}{4}} [/mm] und somit
[mm] \integral{y} \bruch{dy}{4x^3}=\integral{y} \bruch{dy}{4y^{\bruch{3}{4}}}=\integral{\bruch{1}{4}y^\bruch{1}{4}} [/mm] dy = [mm] \bruch{1}{5}y^\bruch{5}{4}=\bruch{1}{5}x^5.
[/mm]
Und alles ist richtig. Natürlich wird niemand das Ursprüngliche Integral auf diesem Umweg berechnen. Ich wollte nur zeigen, dass (und wie) es funktioniert.
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Nun anschaulich:
Nehmen wir an, du sollst die Energie berechnen, die man braucht, um eine Masse m aus dem Gravitationsfeld der Erde zum Mond zu befördern. Natürlich gibt es Formeln dafür, aber woher kommen sie?
Die Energie berechnet sich zu E = F*s, falls F konstant ist und in Wegrichtung geht. Da sich F auf der Strecke s ändert, muss man die jeweilige Kraft F(s) mit einem winzigen Wegstückchen ds multiplizieren und dann den neuen Wert für F für das nächste Wegstückchen nehmen usw. Also ist eine kleine Energiezunahme dE so groß wie F(s)*ds. Damit wird E = [mm] \integral_{E_0}^{E_1}dE=\integral_{s_0}^{s_1}{F(s)ds}=\integral_{s_0}^{s_1}{\bruch{k}{s^2}ds}=-\bruch{k}{s}|_{s_0}^{s_1}=-\bruch{k}{s_1}+\bruch{k}{s_0}. [/mm] (s = gerader Weg vom Erdmittelpunkt weg)
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Beispiel aus der Geometrie: Volumen einer quadratischen Pyramide, Kantenlänge A, Höhe H
Wir stellen die Pyramide auf den Kopf, damit wir die Höhe von der Spitze aus messen können. Schneidet man die Pyramide nun in einer beliebigen Zwischenhöhe h parallel zur Grundfläche durch, so hat die Kantenlänge a der Schnittfläche den Wert [mm] a=A*\bruch{h}{H} [/mm] (Strahlensatz, deshalb der Kopfstand). Damit hat ein Scheibchen Pyramide in der Höhe h die Grundfläche [mm] a^2 [/mm] und die Dicke dh, also [mm] dV=a^2*dh [/mm] = [mm] \bruch{A^2*h^2}{H^2}dh [/mm] und damit
[mm] V=\integral{dV}=\integral_{0}^{H}{\bruch{A^2*h^2}{H^2}dh}=\bruch{A^2*h^3}{3H^2}|_{0}^{H}=\bruch{A^2*H^3}{3H^2}=\bruch{1}{3}A^2*H
[/mm]
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Jetzt mal ein Beispiel, für das du hoffentlich keine Formel findest: Eine Staumauer hat die Form eines Halbkreises (Durchmesser oben, Radius r) und ist bis oben gefüllt. Wie hoch ist die Gesamtkraft, die das Wasser auf die Mauer ausübt?
Du weißt: [mm] p=\rho*g*h, [/mm] p=Wasserdruck, [mm] \rho=Dichte [/mm] des Wassers, g=Erdbeschleunigung, h=Wassertiefe.
Außerdem ist F=p*A, F=Kraft auf Fläche A durch Druck p.
Somit ist [mm] F=\integral{dF}=\integral{p*dA}=???
[/mm]
Was ist dA? Ein kleines Flächenstück. Nun fasst du alle kleinen Flächenstückchen, die in gleicher Wassertiefe liegen, zu einer Gesamtfläche zusammen, weil sie den selben Druck haben. dA ist etwas winziges, deine Fläche darf ganz lang sein, aber fast keine Höhe haben, da sich mit der Höhe p ja wieder ändert.
Betrachte den unteren Halbkreis mit Radius r. Liegt sein Mittelpunkt im Ursprung, so gilt: [mm] x^2+y^2=r^2, [/mm] also [mm] x=\wurzel{r^2-y^2}. [/mm] Damit erhalten wir [mm] x=\wurzel{r^2-y^2}.
[/mm]
Ein Streifen in der Tiefe h=-y hat die Gesamtbreite [mm] 2x=2*\wurzel{r^2-y^2}=2*\wurzel{r^2-h^2} [/mm] und die Höhe dh.
Also wird [mm] \integral{p*dA}=\integral_{0}^{r}{p*2*\wurzel{r^2-h^2}*dh}=\integral_{0}^{r}{\rho*g*h*2*\wurzel{r^2-h^2}*dh}
[/mm]
Das dh ist hier also die Streifenbreite, auf die du gar nicht verzichten kannst, weil du sonst keine Fläche erhältst.
Nun substituierst du: [mm] t=\wurzel{r^2-h^2}, dt/dh=\bruch{-2h}{2*\wurzel{r^2-h^2}} [/mm] und damit [mm] dt=\bruch{-h}{t}dh [/mm] oder t*dt = -h*dh:
[mm] \integral{\rho*g*h*2*\wurzel{r^2-h^2}*dh}=\integral{2*\rho*g*h*t*dh}=-\integral{2*\rho*g*t*t*dt}=-\bruch{2}{3}\rho*g*t^3=-\bruch{2}{3}\rho*g*\wurzel{r^2-h^2}^3
[/mm]
Mit den Grenzen von 0 bis r gibt das [mm] 0-(-\bruch{2}{3}\rho*g*r^3)=\bruch{2}{3}\rho*g*r^3.
[/mm]
Du siehst hier, wie die Anschauung (Flächenhöhe=dh) und die mathematische Substitution (dh durch dt ersetzen) ineinandergreifen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die "Symbole" dx, dy usw. sind "reell" und haben eine
> Bedeutung, die über das Formale hinausgeht. Wenn du Physik
> studierst und diese Bedeutung anschaulich (!!!) nicht
> verstehst, wirst du keinen Erfolg haben.
>
> Zunächst doch rein formal: Natürlich kann man unter
> [mm]\integral{f}[/mm] einfach die Stammfunktion F verstehen, aber
> damit kann kein Physiker arbeiten, wenn er z.B.
> Differenzialgleichungen selber erstellen soll.
>
> Zunächst ein Beispiel, warum auf dx (oder ein anderes d.)
> nicht verzichtet werden kann:
>
> Gesucht: [mm]\integral{x^4}dx.[/mm] Ich lasse nun das dx weg und
> schreibe nur [mm]\integral{x^4}.[/mm] Jetzt kürze ich ab: [mm]y=x^4,[/mm]
> suche also [mm]\integral{y}= \bruch{1}{2}y^2 =\bruch{1}{2}x^8.[/mm]
>
> Ein bisschen falsch - oder? Wo liegt der Fehler?
relativ harmlos: Du integrierst bzgl. der falschen Integrationsvariablen [mm] $y\,,$
[/mm]
denn diese hast Du nicht mitsubstituiert.
(Bei [mm] $y=x^4$ [/mm] ist [mm] $y=y(x)=x^4\,,$ [/mm] und daher
[mm] $\int x^4=\int y(\red{x})$
[/mm]
immernoch bzgl. [mm] $\red{x}$ [/mm] zu integrieren. Du hast eigentlich nichts gemacht,
außer eine neue Bezeichnung einzuführen...)
Allerdings hast Du insofern recht, als dass
[mm] $\int x^4=\int [/mm] y$
symbolisch die Information der Integrationsvariablen unterschlägt.
Generell sagt man eher:
[mm] $\int f:=\int [/mm] f(x) [mm] dx\,,$
[/mm]
und schreibt dann auch nicht
[mm] $\int x^4\,,$
[/mm]
sondern:
Es sei
$f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^4\,,$
[/mm]
dann folgt mit [mm] $y:=x^4$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] f=...$
Die "Integrationsvariable" wird dann anders verpackt, nämlich das ist
automatisch die Variable [mm] $x\,$ [/mm] in
"der Funktion [mm] $f=f(x)\,.$"
[/mm]
(Heuser schreibt übrigens anstatt [mm] $\int f(x)dx\,$ [/mm] tatsächlich nicht [mm] $\int f\,,$ [/mm] sondern
dennoch etwas kürzer auch [mm] $\int fdx\,.$ [/mm] Könnte man aber ähnlich bemängeln,
denn hier ist ja auch nicht klar, dass [mm] $f=f(x)\,,$ [/mm] aber ich denke, dass er das
in seiner Notation implizit mitsuggerieren will...)
Dein Hinweis ist gut, insofern, als dass er insbesondere deutlich macht,
wo das "Kürzel"
[mm] $\int [/mm] f$
Schwächen aufweist und dass man an entsprechenden Stellen vorsichtig
sein muss.
Allerdings kennen wir sowas zur Genüge, denn das fängt schon damit
an, dass man eine Funktion etwa so definiert:
"Gegeben sei die Funktion [mm] $f(x):=x^2$..." [/mm] (oder auch nur: "Gegeben sei die
Funktion [mm] $x^2$"):
[/mm]
- Eigentlich ist [mm] $f(x)\,$ [/mm] der Funktionswert "einer Funktion [mm] $f\,$" [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$
[/mm]
- In der noch kürzeren Fassung danach ist [mm] $x^2$ [/mm] sogar nur ein Terminus
- Mathematisch *halb*streng ist eine Definition ein Tupel [mm] $(f,D,Z,\glqq\text{Funktionsdefinierender Ausdruck}\grqq)$,
[/mm]
wie sollte man sonst sowas elementares wie "injektiv, surjektiv,..." überhaupt
untersuchen? (Halb-streng, weil: Wie ist eigentlich der Teil "Funktionsdefinierender Ausdruck"
gemeint?)
Und um's mal ganz "krass" zu machen: Fragen wie
"Bestimmen Sie den Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] der Funktion [mm] $f(x)=1/x\,$"
[/mm]
sind, wenn man sie wortwörtlich (also in dieser Formulierung) nimmt,
relativ blödsinnig:
[mm] $D:=\{1\}$
[/mm]
oder
[mm] $D:=\IN$ [/mm] (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$)
[/mm]
oder
[mm] $D:=\IR \setminus \{0\}$ [/mm] (das wäre wohl eine *schulgerechte Antwort*,
wobei man dort sicher nicht [mm] $D\red{\;:=}$ [/mm] schreiben darf!)
oder (wenn man in der Schule glänzen will)
[mm] $D:=\IC \setminus \{0\}.$
[/mm]
Etwas sinnvoller wäre bspw. sowas wie: Bestimmen sie den
größtmöglichen Bereich $D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ der Term
[mm] $\frac{1}{x}$
[/mm]
definiert ist...
P.S. Die Notation
[mm] $\int [/mm] f$
für bspw.
[mm] $\int [/mm] f(x)dx$
ist keine Erfindung von mir - ich müsste jetzt aber doch ein wenig suchen,
in welchem Buch sie (auch) verwendet bzw. angesprochen wird. Wenn ich
diese Bücher finder, ergänze ich sie bei Bedarf.
Generell: Kürzel sind immer gut, sofern ihre Bedeutung (aus dem Zshg.
heraus) klar und eindeutig sind. Mathematiker machen sowas eigentlich
sehr früh (siehe oben: *Funktionen*) und manchmal übersehen sie es
auch (z.B. in dem Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] *können* zwei Bedeutungen
drinstecken...).
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
nett, dass du den von mir extra eingebauten Fehler erläuterst, aber das habe ich doch selber schon in meinen weiteren Ausführungen getan. Und daraus wird doch auch ersichtlich, dass mir dieser bewusst ist. Ich wollte genau das zeigen, was du auch sagst, nämlich dass Substituieren mit einer Veränderung von dx einhergeht und das dx deshalb nicht weggelassen werden darf.
Allerdings widerspreche ich dir vollständig, wenn du sagst, dass man ggf. dx (oder ein anderes d...) weglassen könnte.
Erstens: Das Rotationsvolumen eines Körpers mit der Randfunktion y = f(x) berechnet sich zu [mm] \integral_{a}^{b}{y^2 dx} [/mm] und nicht zu [mm] \integral_{a}^{b}{y^2}, [/mm] denn das könnte dann ja [mm] \bruch{y^3}{3} [/mm] ergeben.
Zweitens: In der Physik ergibt sich die Strecke zu s = [mm] \integral_{a}^{b}{v(t) dt}. [/mm] Wäre sie nur [mm] \integral_{a}^{b}{v(t)}, [/mm] so müsste man eine Strecke z.B. in km/h und nicht in km messen. Oder wie beseitigst du die Zeit aus der Berechnung? Und so geht es bei entsprechenden anderen Größen ebenso.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 So 23.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> nett, dass du den von mir extra eingebauten Fehler
> erläuterst, aber das habe ich doch selber schon in meinen
> weiteren Ausführungen getan. Und daraus wird doch auch
> ersichtlich, dass mir dieser bewusst ist. Ich wollte genau
> das zeigen, was du auch sagst, nämlich dass Substituieren
> mit einer Veränderung von dx einhergeht und das dx deshalb
> nicht weggelassen werden darf.
>
> Allerdings widerspreche ich dir vollständig, wenn du
> sagst, dass man ggf. dx (oder ein anderes d...) weglassen
> könnte.
und ich widerspreche Dir bei Deinem Widerspruch. Sage ich etwa:
Es sei
[mm] $\int [/mm] f:=F,$
wobei [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit
$f [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
ist, so tut diese Definition (natürlich sollte man noch etwas mehr von [mm] $f\,$
[/mm]
fordern, aber das lasse ich mal weg, weil es hier relativ unrelevant bzgl.
des Themeninhalts ist) genau das, was sie tun soll und auch sonst
[mm] $F=:\int [/mm] f(x)dx$
tut. (Übrigens ist die Notation [mm] "$F(x)=\int [/mm] f(x)dx$" auch nicht gut, wenn man penible
Dozenten schonmal gehabt hat, sieht man durchaus auch sowas wie
[mm] $\left(\int f(x)dx\right)(s)=F(s)$
[/mm]
oder
[mm] $F(\cdot)=\int f(x)dx\right$ [/mm]
oder
[mm] $\IR \ni [/mm] s [mm] \mapsto F(s)=\left(\int f(x)dx\right)(s)$
[/mm]
oder
...
Denn sowas wie
[mm] $\int 3x^2dx=x^3$
[/mm]
sollte man schon richtig eher als
[mm] $\int 3x^2dx=\{s \mapsto s^3\}$
[/mm]
zu lesen wissen - wobei die rechte Seite auch nicht wirklich vollständig ist,
was aber auch schon daran liegt, dass der Integrand [mm] "$3x^2$" [/mm] hier auch nicht
als Funktion vollständig aufgeschrieben erscheint...)
Dass diese Notation ihre Schwächen hat (siehe Deine Substitution), ist
ein anderes Problem.
P.S. Schlag' mal etwa
"Maß und Wahrscheinlichkeit"
von Klaus D. Schmitt auf. Der benutzt die Notation
[mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu,$
[/mm]
welche Deiner Meinung nach nicht erlaubt ist: Denn dann müßte er
[mm] $\int [/mm] f(x) [mm] d\mu(x)$
[/mm]
oder mindestens (analog zum Heuser) dann
[mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu(x)$
[/mm]
schreiben - schließlich ist weder in der reinen Notation [mm] $f\,$ [/mm] noch in [mm] $\mu$ [/mm] die
Variable (das Argument) klar, so dass in
[mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu$
[/mm]
die Integrationsvariable genauso unklar ist wie bei mir in [mm] $\int f\,.$
[/mm]
(Auf Seite 132 steht dann sowas wie
[mm] $\int f(x)d\mu(x)\,,$
[/mm]
und dort schreibt er dann "Die Angabe der Integrationsvariablen ist in vielen
Fällen hilfreich. ..."
Und genau einen solchen Standpunkt vertrete ich auch! [Hilfreich ist etwas
anderes wie "notwendig" oder "unerläßlich"...])
P.P.S. Derartige Notationen findest Du *standardmäßig* in vielen Maß- bzw.
Wahrscheinlichkeitstheorie-Büchern!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Erstens: Das Rotationsvolumen eines Körpers mit der
> Randfunktion y = f(x) berechnet sich zu
> [mm]\integral_{a}^{b}{y^2 dx}[/mm] und nicht zu
> [mm]\integral_{a}^{b}{y^2},[/mm] denn das könnte dann ja
> [mm]\bruch{y^3}{3}[/mm] ergeben.
Wenn man (wie man es auch macht)
[mm] $\int [/mm] f:=F$
für eine Stammfunktion [mm] $F\,$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] schreibt, kann man sich auch auf
den Standpunkt stellen, dass man bei den Integralnotationen vorsichtig
sein muss:
[mm] $\int x^4\,$
[/mm]
sollte man dann schon gar nicht schreiben, denn [mm] $x^4$ [/mm] ist an und für sich
streng genommen keine Funktion (klar: [mm] $f\,$ [/mm] *alleine* eigentlich auch nicht,
aber man denkt sich immer [mm] $f\,$ [/mm] als Kürzel für das entsprechende Tupel
ergänzt). Etwas besser wäre dann bspw.
[mm] $\int \{x \mapsto x^4\}\,,$
[/mm]
und dann ist sowas wie eine Substitution [mm] $y:=x^4$ [/mm] nur
[mm] $\int\{\red{x} \mapsto y\}\,.$
[/mm]
Und hier ist
[mm] $\int \{x \mapsto y\}=\{y \mapsto \frac{1}{2}y^2\}$
[/mm]
schlichtweg falsch, da nach der falschen Variablen integriert wurde; bzw.
der bessere Grund ist:
Die Ableitung von
[mm] $\{y \mapsto \frac{1}{2}y^2\}$
[/mm]
ist eben
[mm] $\{y \mapsto y\}$
[/mm]
und das ist offensichtlich nicht die gleiche Funktion wie
[mm] $\{x \mapsto x^4\}\,.$
[/mm]
Und nach wie vor habe ich schon des öfteren erwähnt: Wenn man es genau
nimmt, gibt es hier nur eine Sache, die immer dafür sorgt, dass man Probleme
hat:
Sowas wie
[mm] $x^4$
[/mm]
oder auch sogar
$x [mm] \mapsto x^4$
[/mm]
ist mathematisch gesehen keine Funktion - eine Funktion ist ein Tupel ...
Ferner:
Wir machen in der Mathematik einiges verdeckt, was vielleicht nicht allen
auffällt. Das fängt spätestens bei den rationalen Zahlen an: Man hat Paare
aus
[mm] $\IZ \times \IN\,,$
[/mm]
und definiert darauf gewisse Operationen. Danach schreibt man
[mm] $a/b=c/d\,,$
[/mm]
wenn [mm] $ad=bc\,.$ [/mm] Das ändert aber nichts daran, dass dabei i.a.
$(a,b) [mm] \not=(c,d)$
[/mm]
gilt. Wer streng arbeitet, schreibt da Äquivalenzklassen hin:
$[(a,b)]=[(c,d)]$
ist nämlich gemeint...
> Zweitens: In der Physik ergibt sich die Strecke zu s =
> [mm]\integral_{a}^{b}{v(t) dt}.[/mm] Wäre sie nur
> [mm]\integral_{a}^{b}{v(t)},[/mm] so müsste man eine Strecke z.B.
> in km/h und nicht in km messen.
Nein. Denn wäre, nennen wir die Funktion
[mm] $V=V(t)\,$
[/mm]
jetzt mal - nach Deiner Idee - sowas wie eine Stammfunktion von [mm] $v\,,$ [/mm] und
bzgl. [mm] $V\,$ [/mm] hätten wir die Einheit
km/h [mm] ($V\,$ [/mm] wäre jetzt also *Strecke mit ungewohnter Einheit*),
so müßte doch, ich schreib's mal nur grob, aus
[mm] $V(t+\Delta [/mm] t)-V(t) [mm] \approx v(t)*\Delta [/mm] t$
dann folgen, dass
[mm] $v(t)*\underbrace{\Delta t}_{\glqq\text{Einheiten-behaftet!} {\grqq}}$
[/mm]
die Einheit "km/h" hat. Dazu müsste dann also "die Geschwindigkeit"
[mm] $v(t)\,$
[/mm]
in
[mm] $\text{km}/\text{h}^2$
[/mm]
gemessen worden sein.
Also ich sehe da nicht Dein Problem: Hier bleibt alles wie gehabt, beim Alten!
Und zwar unabhängig von der Notation!
[Was aber nicht heißt, dass Du hier nicht physikalisch natürlich wieder eine
gute Motivation lieferst, warum man (wohl in der Physik | meist) nicht auf
das "dx" verzichten *sollte*!]
> Oder wie beseitigst du die
> Zeit aus der Berechnung? Und so geht es bei entsprechenden
> anderen Größen ebenso.
Das ist nach wie vor eine reine Interpretation, und diese hat sich (nicht
ohne Grund, sondern durchaus auch, weil es eine anschauliche 'Herleitung'
gibt) bewährt.
Wenn ich
[mm] $\int v\,$
[/mm]
anstatt [mm] $\int v(t)dt\,$ [/mm] schreibe, mache ich auch nichts anders. Die "Anschaung"
geht dabei vielleicht flöten. Aber die Einheit "Sekunde" steckt hier in der
Variablen [mm] $t\,.$
[/mm]
Du schreibst ja auch nicht
[mm] $s\,'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t/(\text{1 Sekunde})}\,,$
[/mm]
oder?
[Übrigens müssten Physiker sogar besser
[mm] $s\,'(t)=\lim_{\Delta t \to \text{0 Sekunden}} \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$
[/mm]
schreiben?!]
Die Einheit "Sekunde" steckt hier in [mm] $\Delta [/mm] t$ drin!
(Das ist in
[mm] $s:=\int [/mm] v$
ebenso enthalten, denn das folgt aus der Definition des Begriffs
"Stammfunktion"!)
P.P.S. Eine andere Sache, die mich bei Physikern schon immer gestört hat:
Wenn man "eine Funktion
[mm] $f=f(s)\,$
[/mm]
hat", und dann [mm] $s=s(t)\,$ [/mm] ist, dann ist das mathematisch ein Unding, einfach
dann
[mm] $f(t)=f(s(t))\,$
[/mm]
zu schreiben. Sinnvoller wäre sowas wie
[mm] $\tilde{f}:=f \circ [/mm] s$
zu definieren, dann kann man
[mm] $\tilde{f}(t):=(f \circ [/mm] s)(t)=f(s(t))$
schreiben. Aber [mm] $\tilde{f}$ [/mm] symbolisch mit [mm] $f\,$ [/mm] gleichzusetzen...
Aber naja: Auch das wird gemacht, *weil es sich halt bewährt hat*.
Gruß,
Marcel
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Hallo! Danke!
Ich habe das Beispiel mit dem Staudamm nachgerechnet. Ich habe es verstanden und kann in einfachen Fällen auch selbst auf diesem Weg eine Formel herleiten.
Nachdem die Lösung auf diese Weise gefunden wurde, kann man (zu Übungszwecken) versuchen, Argumente zu finden, weshalb die Lösung korrekt ist. Meiner Meinung nach, müssen dazu drei Apekte geklärt werden:
1) die Modellierung (Überführung in mathematische Konstrukte) des Sachverhaltes ist plausibel/angemessen/verständlich.
2) die mathematischen Schlussfolgerungen sind korrekt
3) die Interpretation der Resultate ist plausibel/angemessen/verständlich.
Zu (2):
In dieser Situation (Stauseebeispiel) macht mir die Überprüfung der mathematischen Korrektheit weniger Mühe. Ich kann beweisen, dass diese Substitution erlaubt ist und korrekt ausgeführt wurde. In anderen Beispielen aus anderen Texten scheitere ich hier regelmässig.
Zu (3):
Man könnte argumentieren, dass unsere Aussage über einen Grenzwert wirklich einer messbaren Grösse entspricht (etwas philosophisch).
Zu (1):
Die wirkliche "Magie" dieses Lösungsansatzes geschieht ja dort, wo die Dimensionen des Flächenstückes approximiert werden. Wenn ich selbst versuche, ein Argument für diese Approximation der Breite zu finden, lande ich hier: "Wir können irgendeine Breite, angenommen zwischen h und [mm]h + {\Delta}h[/mm], wählen, wenn wir danach über h integrieren, weil bewiesen wurde, dass die Riemannschen Summen bei der Grenzwertbildung in bestimmte Integrale übergehen."
Habt Ihr zu (1) eine anderes Argument? Sonstige Gedanken?
Leo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 25.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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