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Forum "Maßtheorie" - Intervall [0,1] Maß Null
Intervall [0,1] Maß Null < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Intervall [0,1] Maß Null: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 11.10.2011
Autor: babapapa

Aufgabe
Warum hat das Invervall [0,1] nicht das Maß Null?


Hallo!

Ich finde immer wieder die Defintion, dass das Intervall [0,1] nicht das Maß Null hat, jedoch finde ich nirgendwo eine genau Erklärung.

Ich weiß dass eine Menge M das Maß Null (m(M) = 0) wenn die Menge endlich ist, höchstens Abzählbar oder die Cantor Menge ist.
Definition:

M [mm] \subset \IR [/mm]
m(M) = 0 <=> [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \summe_{k=1}^{\infty} |i_k| [/mm] < [mm] \epsilon \wedge [/mm] M [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} i_k [/mm]

also höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle [mm] i_k [/mm] die M überdecken.

wie zeige ich dies?

lg
Baba

        
Bezug
Intervall [0,1] Maß Null: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Di 11.10.2011
Autor: felixf

Moin Baba!

> Warum hat das Invervall [0,1] das Maß Null?

Das haengt eindeutig vom Mass ab. Wenn du das Lebesgue-Mass nimmst, dann hat das Intervall allerdings nicht Mass 0, sondern 1.

> Ich finde immer wieder die Defintion, dass das Intervall
> [0,1] das Maß Null hat, jedoch finde ich nirgendwo eine
> genau Erklärung.
>  
> Ich weiß dass eine Menge M das Maß Null (m(M) = 0) wenn
> die Menge endlich ist, höchstens Abzählbar oder die
> Cantor Menge ist.
>  Definition:
>  
> M [mm]\subset \IR[/mm]
>  m(M) = 0 <=> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 :

> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} |i_k|[/mm] < [mm]\epsilon \wedge[/mm] M [mm]\subset \bigcup_{i=1}^{\infty} i_k[/mm]

Bezueglich dieser Definition hat die Menge $[0, 1]$ eben nicht Mass 0.

> also höchstens abzählbar viele (offene oder
> abgeschlossene) Intervalle [mm]i_k[/mm] die M überdecken.
>  
> wie zeige ich dies?

Gar nicht, da es falsch ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Intervall [0,1] Maß Null: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Di 11.10.2011
Autor: babapapa

Hoppsa, hab mich vertan, meinte "nicht das maß null".
vielen dank für eure mühe!

Bezug
                        
Bezug
Intervall [0,1] Maß Null: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mi 12.10.2011
Autor: babapapa

Aufgabe
Warum ist das Intervall [0,1] NICHT vom Maß Null?

Hallo!

Bei der Fragestellung hatte sich ein Fehler eingeschlichen. Vielen Dank für jede Erklärung.
Vllt kann auch jemand eine einführende Literatur für Maßtheorie und Lebesgue Integral empfehlen.

lg

Bezug
                                
Bezug
Intervall [0,1] Maß Null: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Mi 12.10.2011
Autor: fred97


> Warum ist das Intervall [0,1] NICHT vom Maß Null?
>  Hallo!
>  
> Bei der Fragestellung hatte sich ein Fehler eingeschlichen.
> Vielen Dank für jede Erklärung.
>  Vllt kann auch jemand eine einführende Literatur für
> Maßtheorie und Lebesgue Integral empfehlen.
>  
> lg

D.L. Cohn, Measure Theory. Birkhäuser (1980).

J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie. Springer (2007).

W. Rudin, Real and Complex Analysis. 3rd edition, McGraw Hill (1986).
(Auch erhältlich als deutsches Taschenbuch: W. Rudin, Reelle und Komplexe Analysis. Oldenbourg (1999))

D. Werner, Einführung in die höhere Analysis. Springer (2006). Kapitel IV.

FRED


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