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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mi 01.09.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Welche Intervale werden beschrieben durch:
|x-1|<=1 |
Laut Lösung kommt raus: x [mm] \in [/mm] [0,2]
Kann das nich richtig nachvollziehen und frage mich wie man drauf kommt.
Habe folgendes überlegt:
Als Interval kann man sich doch zwei Grenzen vorstellen.
Die eine Grenze (rechte Grenze) liegt bei 1 und die andere Grenze (linke Grenze) ist offen und muss kleiner als 1 sein.
Also halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall
(a,b] = ]a,b] := [mm] {x\in\IR|a
Nun muss ich für a und b die Werte rausfinden.
Ist es soweit richtig?
Die Funktion lautet: y = x-1
Wie gehe ich nun weiter vor?
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Hallo zoj,
> Welche Intervale werden beschrieben durch:
> [mm] $|x-1|\le [/mm] 1$
> Laut Lösung kommt raus: [mm] $x\in [/mm] [0,2]$
>
> Kann das nich richtig nachvollziehen und frage mich wie man
> drauf kommt.
> Habe folgendes überlegt:
> Als Interval kann man sich doch zwei Grenzen vorstellen.
> Die eine Grenze (rechte Grenze) liegt bei 1 und die andere
> Grenze (linke Grenze) ist offen und muss kleiner als 1
> sein.
>
> Also halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall
> $(a,b] = ]a,b] := [mm] \{x\in\IR\mid a
>
> Nun muss ich für a und b die Werte rausfinden.
> Ist es soweit richtig?
>
> Die Funktion lautet: $y = x-1$> Wie gehe ich nun weiter vor?
Du kannst es dir zum einen geometrisch überlegen:
$|x-a|=m$ bedeutet geometrisch: Diejenigen [mm] $x\in\IR$, [/mm] die von a einen Abstand von m haben.
Das sind $x=a+m$ und $x=a-m$
[mm] $|x-a|\le [/mm] m$ entsprechend diejenigen [mm] $x\in\IR$, [/mm] die von a einen Abstand kleinergleich m haben.
Das ist das abgeschossene Intervall $[a-m,a+m]$
bzw. $|x-a|<m$" diejenigen [mm] $x\in\IR$, [/mm] die von a einen Abstand kleiner m haben.
Das ist das offene Intervall $(a-m,a+m)$
Mal dir das mal am Zahlenstrahl auf.
Rechnerisch kannst du das lösen, indem du den Betrag auflöst:
Denke an die Definition: $|z|=z$ für [mm] $z\ge [/mm] 0$ und $|z|=-z$ für $z<0$
Hier also $|x-1|=x-1$ für [mm] $x-1\ge [/mm] 0$, also für [mm] $x\ge [/mm] 1$ und $|x-1|=-(x-1)=1-x$ für $x-1<0$, also $x<1$
Damit löse nun mal die Ungleichung [mm] $|x-1|\le [/mm] 1$ auf ...
Das Lösungsintervall ergibt sich als Vereinigung der beiden Teillösungen ...
Und prüfe auch mal (aufmalen am Zahlenstrahl), ob es zu der oben erwähnten geometrischen Interpretation passt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 01.09.2010 | | Autor: | zoj |
Irgendwie verstehe ich nicht die Theorie, die dahinter steckt.
Also |x-1| ist die Funktionsgleichung. Durch den Absolutbetrag kann diese Funktion niemals negative Werte liefern. Habe mir die Funktionsgleichung zeichnen lassen. Bei x=1 hat die Funktion einen Knick und hat an dieser Stelle den Funktionswert 0.
Das wäre ja der erste Teil der Lösung x [mm] \in [/mm] 0 ( f(1)=0 ).
Für x<1 geht die Funktion ins Unendliche. Wie kommt man da auf 2?
Habe ich das mit <=1 richtig verstanden? Das doch die zugelassenen x-Werte oder?
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Hallo, du möchtest also die Aufgabe geometrisch lösen:
1)
zeichne dir die Funktion f(x)=x-1
2)
durch den Betrag gibt es keine negativen Funktionswerte, der Teil des Graphen, der unterhalb der x-Achse liegt, wird an selbiger gespiegelt
3)
zeichne dir jetzt eine Parallele zur x-Achse durch y=1
4)
welche Argument erfüllen nun die Bedingung [mm] |x-1|\le1
[/mm]
jetzt klar(er)
versuche dann noch den rechnerischen Weg mit den genannten Fallunterscheidungen zu gehen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 02.09.2010 | | Autor: | zoj |
So langsam verstehe ich was es mit den Intervalen auf sich hat.
Das sind also die X-Werte, die man einsetzen darf.
Graphisch habe ich die Sache nachvollzogen.
jetzt zu dem rechnerischen Teil:
Also laut Definition hat ein Betrag zwi Lösungen:
1. |z| = -z für z<0
2. |z| = z für z>0
Zu 1:
|x-1| <= 1 // Definition anwenden
-(x-1) <= 1 // *(-1)
x-1 <= -1 // +1
x >= 0 // Ungleichung "kippt" Stimmt das?
Das wäre der erste Teil der Lösung
Zu2:
|x-1| <= 1
x-1 <= 1 // +1
x <= 2
Das wäre also der zeite Lösungsteil.
Demnach: x [mm] \in [/mm] [0,2]
Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Do 02.09.2010 | | Autor: | meili |
Hallo zoj,
> So langsam verstehe ich was es mit den Intervalen auf sich
> hat.
> Das sind also die X-Werte, die man einsetzen darf.
>
> Graphisch habe ich die Sache nachvollzogen.
>
> jetzt zu dem rechnerischen Teil:
> Also laut Definition hat ein Betrag zwi Lösungen:
> 1. |z| = -z für z<0
> 2. |z| = z für z>0
>
> Zu 1:
> |x-1| <= 1 // Definition anwenden
> -(x-1) <= 1 // *(-1)
Hier "kippt" die Ungleichung; wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, muss aus "<" ">" werden, damit es äquivalent bleibt.
x-1 >= -1 // +1
> x-1 <= -1 // +1
> x >= 0 // Ungleichung "kippt" Stimmt das?
> Das wäre der erste Teil der Lösung
>
> Zu2:
> |x-1| <= 1
> x-1 <= 1 // +1
> x <= 2
> Das wäre also der zeite Lösungsteil.
>
> Demnach: x [mm]\in[/mm] [0,2]
>
> Ist das soweit richtig?
>
Sonst ist alles richtig!
Gruß meili
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