Intervallschachtelung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mo 14.11.2005 | | Autor: | koenig |
hallo: bin hier neu 
Hab ein kleines Problem in AnalysisI
Arithmetisches Mittel:
A(a,b) = 0,5*(a+b)
Harmonisches Mittel:
H(a,b) = 2*a*b /(a+b)
ist mir klar, auch das, dass harmonische Mittel kleiner ist als das arithmetische Mittel. Jetzt zu meinem Problem:
Zeige, dass das iterative Mittelungsverfaren [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] A(a_{n},b_{n}) [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] H(a_{n},b_{n}) [/mm] beginnend mit 0 [mm]
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> hallo: bin hier neu
> Hab ein kleines Problem in AnalysisI
> Arithmetisches Mittel:
> A(a,b) = 0,5*(a+b)
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> Harmonisches Mittel:
> H(a,b) = 2*a*b /(a+b)
>
> ist mir klar, auch das, dass harmonische Mittel kleiner ist
> als das arithmetische Mittel. Jetzt zu meinem Problem:
> Zeige, dass das iterative Mittelungsverfaren [mm]b_{n+1}[/mm] =
> [mm]A(a_{n},b_{n})[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]H(a_{n},b_{n})[/mm] beginnend mit 0
> [mm]
> [mm]b_{n}[/mm] - [mm]a_{a} \le 2^{-n}[/mm] * [mm](b_{0}[/mm] - [mm]a_{0})[/mm] für alle n
> element [mm]\IN[/mm]
>
Hallo,
leider schreibst Du nicht, wo genau Dein Problem liegt, an welcher Stelle Du nicht weiterkommst, so kann ich Dir nur allgemeine Hinweise geben.
Weißt Du, was eine Intervallschachtelung ist?
Da Du die Größenbeziehung zwischen arithmetischem und harmonischem Mittel kennst (Das wurde bewiesen, oder? Sonst mußt Du es tun.), weißt Du schonmal:
[mm] a_n \le b_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Was Du nun zeigen mußt, ist daß für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n],
[/mm]
also [mm] a_n< a_{n+1} [/mm] und [mm] b_{n+1}
Hier bietet sich vollständige Induktion an,
wie auch für die Behauptung, daß
[mm] b_{n}- a_{a} \le 2^{-n} [/mm] * [mm] (b_{0} [/mm] - [mm] a_{0})für [/mm] alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Gruß v. Angela
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