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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Invariante Teilräume
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Invariante Teilräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Di 22.05.2007
Autor: Chichisama

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix B =  [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 5 & 1 \\ -1 & -5 & -1 & -1 \\ -5 & -1 & -1 & -1 } [/mm]
Geben Sie für die Matrix B eine Zerlegung [mm] \IR^{4} [/mm] = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] in B-invariante Teilräume [mm] U_{i} \le \IR^{4} [/mm] mit [mm] dim_{\IR} [/mm] = 2 an.
Bestimmen Sie das charakt. Polynom und das Minimalpolynom.

Hallo,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe. Leider kann ich sie nicht lösen, weil ich nicht verstehe, was invariante Teilräume sind.
Das charakt. Polynom habe ich berechnet und bekomme [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 48x^{2} [/mm] + 512 raus. Um das Minimalpolynom zu berechnen, muss ich das charkt. Polynom in Linearfaktoren schreiben, doch über [mm] \IR [/mm] gibt es keine Lösungen. Wie verfahre ich da?

        
Bezug
Invariante Teilräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 Do 24.05.2007
Autor: Chichisama

Gibt es niemanden, der das mit den invarianten Unterräumen bzgl. einer Matrix verstanden hat und mir erklären kann??

Bezug
        
Bezug
Invariante Teilräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Fr 25.05.2007
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

invariante Unterräume bzgl B sind Räume, aus denen B nicht "rausführt", d.h. wenn ich einen Vektor aus [mm] U_2 [/mm] nehme und B drauf anwende, lande ich wieder in [mm] U_2. [/mm]

Du müsstest eigentlich nen Hinweise mit 2 Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auf dem Blatt gegeben haben.

Tip:

[mm] U_1 [/mm] = [mm] [/mm]
[mm] U_2 [/mm] = [mm] [/mm]

Nun musst du noch zeigen, daß die URs invariant sind, [mm] dim_{\IR}U_i [/mm] = 2 gilt und der Schnitt nur den Nullvektor enthält, dann bist du fertig.

Gruß,
Gono.


Bezug
                
Bezug
Invariante Teilräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Fr 25.05.2007
Autor: Chichisama

Danke für deine Hilfe!!!

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