Invariante nach Hilbert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Unter Invariante ohne weiteren Zusatz verstehen wir im folgenden stets eine ganze rationale Invariante, d.h. eine solche ganze rationale homogene Funktion der Koeffizienten a der Grundform oder des Grundfomensystems, welche sich nur mit Potenzen der Substitutionsdeterminanten multipliziert, wenn man die Koeffizienten a durch die entsprechenden Koeffizienten b der linear transformierten Grundform ersetzt.
( Diese Invarianten besitzen, wie bekannt, die folgenden elementaren Eigenschaften:
1. Die Invarianten lassen die linearen Transformationen einer gewissen kontinuierlichen Gruppe zu.
2. Die Invarianten genügen gewissen partiellen linearen Differentialgleichungen.
3. Jede algebraische und insbesondere jede rationale Funktion von beliebig vielen Invarianten, welche in den Koeffizienten a der Grundformen ganz, rational und homogen wird, ist wiederum eine Invariante.
4. Wenn das Produkt zweier ganzen rationalen Funktionen der Koeffizienten a eine Invariante ist, so ist jeder der beiden Faktoren eine Invariante.
5. Es gibt eine endliche Anzahl von Invarianten, durch welche sich jede andere Invariante in ganzer rationaler Weise ausdrücken lässt. Wir bezeichnen diese endliche Anzahl von Invarianten kurz als das volle Invariantensystem.) |
Hallo Leute.
Ich beschäftige mich gerade ein wenig mit Hilbert und habe folgendes Problem:
Ich verstehe seine "Defintion" der Invariante nicht so recht, denn eine ganze rationale homogene Funktion ist ja nicht gleich einem Polynom, oder?
Ich hatte das zuerst so versatnden, dass eine Invariante ein Polynom mit Koeffizienten aus dem Grundkörper ist. Jetzt nehme ich meinen Grundkörper und modifiziere ihn ein wenig, so dass meine Polynome mit den veränderten Koeffizienten aber immer noch das gleiche Ergebnis haben. (Hatte mir das mit der Länge eines Vektors vorgestellt, den kann ich ja einfach um 5 nach rechts verschieben - und die Länge bleibt die gleiche).
Aber das ganze passt ja nicht, wenn schon eine rationale homogene Funktion kein Polynom ist.
Sind meine Überlegungen überhaupt ein wenig richtig? Ich habe das Gefühl gerade total auf dem Schlauch zu stehen.
Schon einmal Danke!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 30.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
