Invers. am Kreis mit kompl. Zh < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 30.08.2007 | | Autor: | Tepes88 |
| Aufgabe | | Inversion am Kreis mit komplexen Zahlen; Facharbeit |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi all,
Ich soll die Facharbeit mit dem oben genanntem Thema anfertigen.
Es stellen sich mir nun folgende Fragen:
Wie sollte ich die Facharbeit gliedern und welche Themenbereiche sollte ich ansprechen bzw. ausführen.
Meine Idee:
Ich erkläre zuerst die Inversion am Kreis. Danach mache ich in einer kurzen Erklärung die Idee hinter den komplexen Zahlen deutlich und zeige ihre geometrische Anwendung.
Zum Schluss zeige ich in einer Konklusion die Verbindung der Inversion und der komplexen Zahlen auf.
Da ich aber erst am Anfang meiner Facharbeit bin wäre es hilfreich zu wissen ob diese Gliederung so auch am Ende der Facharbeit noch nützlich ist, und vorallem, da ich nur 15-20 Seiten schreiben darf, welche Themen auf alle Fälle gennant, ausgeführt, oder eher weggelassen werden sollten. (zB. bei den komplexen Zahlen, die nicht geometrische Anwendung und Rechenregeln, aber wie weit kann ich die geometrische Anwendung dann erklären...)
Schonmal vielen vielen Dank für jede Hilfe und jede Anregung!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Aufbau scheint ok.
dabei ist es Geschmackssache, ob man zuerst erklärt, was die Inversion ist, also rein geometrisch, oder mit der Einführung der komplexen zahlen anfängt.
Was du mit den geom. Anwendungen meinst, weiss ich nicht genau: addieren als Translation in einer Richtung? Multiplizieren als Drehstreckung?
Dann siehts gut aus.
wichtig ist die Darstellung als a+ib ODER [mm] r*(\cos\phi+i*\sin\phi)
[/mm]
noch einfacher, aber vielleicht für die Schule zu kompliziert die Darstellung als [mm] r*e^{i*\phi} [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] jeweils der Winkel zur reellen Achse ist.
Ich denk auch, dass du von dem genannten Teilen kaum was weglassen kannst.
Aber Bilder von der Inversion solltest du doch vielleicht zeigen.
dazu empfehl ich dir ![[]](/images/popup.gif) das hier
auch sonst nur 3d-xplormath.org ne tolle Seite! allerdings engl.
conformal maps = komplexe Abbildungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Tepes88 |
Hallo,
ich hab mir jetzt die beiden von dir zuerst genannten geometrischen Anwendungen der komplexen Zahlen angesehen...
Die letzte und wie von dir erwähnt, wohl fürt die Schule zu komplizierte Art, hab ich mir no ned zu Gemüte geführt, aber auch, wenn ich sie nicht verwende, würd ich mich doch dafür interessieren sie zu verstehen und zu wissen,... wenn du mir vlt. noch eine I-net-seite dazu sagen könntest, wo das ganze vollständig und durchschaubar erklärt wird wär ich dir sehr dankbar.
Bilder werde ich auch einfügen, allerdings werde ich mich erst um den Inhalt kümmern und dann um die passenden Bilder, weil bei mir sonst die Gefahr besteht, dass ich versuche den Text wegen eines besonders tollen Bildes umzuändern, nur damit ich das Bild mit reinnehmen kann...
Sonst vielen Dank für die schnelle Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 01.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ne kurze Einführung in die komplexe Funktion [mm] e^{ix} [/mm] x reell.
die Ableitungsregeln für die efkt geht wie im reellen.
also [mm] (e^{ix})'=i*e^{ix} [/mm] daraus dann [mm] (e^{ix})''=-e^{ix}
[/mm]
wenn du (cosx+isinx)''=-(cosx+isinx) damit vergleichst, siehst du, dass beide dieselbe sogenannte Differentialgleichung haben:
Wenn man jetzt noch hat [mm] e^0=1 [/mm] und cos0+isin0=1 wirdas noch besser.
Die Rechenregeln für die e-fkt kann man auch aus diesen Ableitungsfkt. rauskriegen.
Und ein Satz der Mathematik sagt; wenn 2 Funktionen an einer Stelle gleich sind und alle ihre Ableitungen gleich, dann sind sie gleich.
also definiert man einfach ab jetzt [mm] e^{ix}=cosx+isinx
[/mm]
Warum so was erst mal anscheinend überflüssiges?
vorallem weil man auf die Weise besser komplex portenzieren und Wurzel ziehen kann.
Die Zahlen [mm] e^{ix} [/mm] liegen alle auf dem Einheitskreis, wenn x von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] läuft.
Quadrieren kann man sie jetzt einfach, indem man den Winkel von der x- Achse gerechnet verdoppelt verdreifacht für [mm] (e^{ix})^3 [/mm] ussw.
Das wär mit a+ib auch nicht so schwer.
Aber etwa [mm] \wurzel{a+ib} [/mm] ist schon ziemlich schwierig auszurechnen, aber [mm] \Wurzel{r*e^{ix}}=\wurzel{r}*e^{ix/2}
[/mm]
ausserdem kann man sehen, dass ne Komplexe Zahl 5 verschiedene 5-te Wurzeln hat. usw.
Guck dir das erstmal an, ob du was davon verstehst, und frag dann evt. weiter.
Ne gute Einführung im Netz auf Schulniveau kenn ich leider nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 So 02.09.2007 | | Autor: | Tepes88 |
Coole Funktion!!!
aiso, ich denke, dass ich das meißte durchaus verstanden habe, jetz werd ich mal versuchen die Facharbeit grob anzufertigen; die e-funktion will ich auf alle fälle drin haben...auch das mit der vielzahl an wurzeln is sehr geil!!!
Vielen Dank für die Erklärung, jetz durchstöber ich ma meine Formelsammlung, rechne n paar Aufgaben dazu, damit ichs versteh und, wie gesagt mach ich dann meine Facharbeit ma grob fertig.
Vorerst hab ich dann ersma keine Fragen mehr, vlt. bräuchte ich dann noch ne idee wo ich gute Aufgaben herbekomm, aber ersma schau ich selba.
Vielen Dank nochmal, du hast mir wirklich wahnsinnig weitergeholfen!!,
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 02.09.2007 | | Autor: | Tepes88 |
Eine Frage hätt ich noch...
Nur zur Absicherung...
Die Inversion am Kreis ist nur die Spiegelung, zb. einer Geraden (wobei ein Kreis entsteht) oder eines Kreises, etc, aber sonst nichts?
Grund der Frage: Es gibt auch die Facharbeit mit der Fragestellung: Inversion am Kreis...
Deswegen dachte ich, dasses doch noch etwas umfangreicher sein müsste...da ich aber im net nichts gefunden habe, was wirklich komplizierter oder ausführlicher ist, oder auch nichts, was weiterführt zu der Klärung einer besonders verzwickten Anwendung, wollt ich mich nochmal versichern, dass man zur Kreisinversion nicht mehr nennen muss als die bloße Spiegelung ein paar geometrischer Funktionen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 02.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider ist deine Frage nicht einduetig zu beantworten.
Meistens wird die Spiegelung am Einheitskreis als Inversion am Einheitskreis behandelt, also die komplexe Abbildung
[mm] f(z)=\bruch{1}{\overline{z}} \overline{z}=konjugiert [/mm] kompl. von z.
Leider gibts auch Literatur- ernsthafte- die die Abbildung [mm] g(z)=\bruch{1}{z} [/mm] als komplexe Inversion bezeichnet.
da dann nur noch ne Spiegelung an der reellen Achse dazukommt, ist das ja nicht sehr verschieden, aber immerhin.
Da würd ich meinen LehrerIn um Rat btw. Präzisierung fragen.
Auch würd ich fragen, wie stark du als Schwerpunkt die kompl. Zahlen und nur als Beispiel die Inversion haben sollst, oder ob das wesentliche Ziel die Inversion ist.
Vorstellen sollte man sich immer die Abbildung der ganzen komplexen Ebene in sich, wobei dann Geraden in Kreise oder Geraden und umgekehrt übergehen.
Noch eine Bemerkung : g(z)=1/z ist eine sogenannte holomorphe komplexe Funktion, ein Ausdruck, der sagt, dass die Funktion komplex differenzierbar ist.(sicher KEIN Teil einer Facharbeit.) f(z) also die Spiegelung ist das nicht, anschaulicher Grund: bei der Spiegelung wird dir Orientierung vertauscht, ( linke Hand wird zu ner rechten, Uhr läuft andersrum . 2 mal spiegeln macht das wieder richtig. Deshalb mögen Mathematiker g(z) mehr.
Das als Hintergrund für dich, ich glaub das ist zu viel für ne Facharbeit. Aber mehr wissen schad ja nie 
Gruss und viel Spass- schönes Thema!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Di 04.09.2007 | | Autor: | Tepes88 |
*g*
allerdings ein interressantes Thema, umso mehr man sich darin vertieft umso mehr Möglichkeiten und Zusammenhänge zeigen sich einem...
und!!! man kann nie zu viel wissen!!! (ausserdem kann man sowas ganz toll in den mündlichen Teil der Facharbeit einfließen lassen )
Ich werd meinen Lehrer ma fragen, allerdings, so wie ich den kenn darf ich mir meinen Schwerpunkt selber setzen, das einzige was er will is ne gute Facharbeit!
An dich nochmal ein gaaaanz großes Dankeschön!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tepes88 |
Ich habe zu diesem Thema nur eine kleine Frage:
Hab grad ma wieder n buch dazu in den fingern
also: Thema: wie oben genannt.
w sei ein Bildpunkt der bei der inversion am Kreis (ich würde sagen einheitskreis, ist hier aber nicht gegeben) einer Parallele zur Imaginärachse (ich denke das ist unwichtig, aber egal, es steht da) entsteht.
Nun kommt folgender, für mich in einem schritt nicht durchschaubarer, Beweis:
Da: w= 1/z* gilt:
|w- [mm] 1/(2x_0)| [/mm] = (eine menge umformungen,die ich verstehe) = [mm] 1/(2|x_0|)
[/mm]
wie kommt man auf den ersten schritt, und was sagt dieser erste schritt aus? (mehr angaben hab ich leider auch nicht,hoffe jemand hat den durchblick)
Vielen Dank, Tepes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 29.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was da gezeigt werden soll, kann ich ohne Text und drumrum nicht raten! [mm] |w-w_0|=r [/mm] ist ein Kreis um [mm] w_0 [/mm] mit radius r, vielleicht haengt es damit zusammen? Aber warum etwas in nem buch berechnet wird sollte schon davor oder dahinter stehen, so ohne Zusammenhang kann wohl kaum jemand was dazu sagen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tepes88 |
Jep, das war auch mein problem, aber, ich schau mal ob ich mir den weiteren kontext irgendow her besorgen kann...war nur ne kleine hoffnung, vlt sagt das ja einem was, der weiß worums geht, aber danke trotzdem!
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