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| Aufgabe | Bestimmen sie das Inverse der Matrix
[mm] A=\pmat{ 1 &3& 2 \\ 2&4 & 4 \\3&1&2 } \in [/mm] Mat(3 [mm] \times [/mm] 3 ; [mm] \IF_{71}) [/mm] |
Hallo,
was bedeutet denn das [mm] \IF_{71} [/mm] genau?
Dürfen in den Matrizen dann nur die Zahlen "0" bis "6" vorkommen, also auch in der Inversen? Ist mir überhaupt nicht klar, über Hinweise würde ich mich sehr freuen.
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[mm] $\IF_{71}$ [/mm] ist ein endlicher Körper. Da 71 eine Primzahl ist (vermute ich), kann in diesem Körper genauso gerechnet werden, wie in [mm] $\IZ/71\IZ$ [/mm] .
Hier ist z.b. -8=63.
Oder steht da [mm] $\IF_7$? [/mm] Dann hast du Recht, dann wird addiert wie in [mm] $\IZ/7\IZ$.
[/mm]
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Also dann mal an die Arbeit:
1. Ich bestimme det(A)=8+36+4-(24+4+12)=8 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Inverse ex.
2. Ich möchte das mit dem "Kochrezept" lösen:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A_{adj}
[/mm]
So mal die ersten zwei Unterdeterminanten:
[mm] D_{11}=4*2-1*4=4 \Rightarrow A_{11}=4
[/mm]
[mm] D_{11}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{11}=-(-8)
[/mm]
Ist das richtig so? Also was mich hier verwirrt, ich sehe bislang nicht, wie das [mm] \IF_{71} [/mm] hier zu berücksichtigen ist...ich denke da vor allem bei der Komplementbildung könnte ich mir gut vorstellen, dass ich da Rücksicht drauf nehmen müsste. Über etwas Erläuterung würde ich micht sehr freuen.
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Hallo Big_Head78,
> Also dann mal an die Arbeit:
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> 1. Ich bestimme det(A)=8+36+4-(24+4+12)=8 [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Inverse ex.
>
> 2. Ich möchte das mit dem "Kochrezept" lösen:
>
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A_{adj}[/mm]
>
> So mal die ersten zwei Unterdeterminanten:
>
> [mm]D_{11}=4*2-1*4=4 \Rightarrow A_{11}=4[/mm]
> [mm]D_{11}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{11}=-(-8)[/mm]
>
Hier meinst Du wohl:
[mm]D_{1\blue{2}}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{1\blue{2}}=-(-8)[/mm]
> Ist das richtig so? Also was mich hier verwirrt, ich sehe
> bislang nicht, wie das [mm]\IF_{71}[/mm] hier zu berücksichtigen
> ist...ich denke da vor allem bei der Komplementbildung
> könnte ich mir gut vorstellen, dass ich da Rücksicht
> drauf nehmen müsste. Über etwas Erläuterung würde ich
> micht sehr freuen.
Bei der Bildung der Inversen steht dann hier:
[mm]A^{-1}=\left(\operatorname{det \ A}\right)^{-1}*A_{adj}[/mm]
, wobei [mm]\left(\operatorname{det \ A}\right)^{-1}[/mm] das multiplikative Inverse zu
[mm]\operatorname{det \ A}[/mm] in [mm]\IF_{71\[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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Ok, also bestimme ich mal [mm] (detA)^{-1} [/mm] :
zu lösende Gleichung: 8x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71
71=8*8+7 [mm] \gdw [/mm] 7=8*8-71
8=1*7+1 [mm] \gdw [/mm] 1=8-7=8-(8*8-71)=1=-7*8+1*71 [mm] \Rightarrow [/mm] -7 ist multiplikativ Inverses zu 8.
richtig?
und nun die Elemente der inversen Matrix:
[mm] D_{13}=2-12=-10 \Rightarrow A_{13}=-10
[/mm]
[mm] D_{21}=6-2=4 \Rightarrow A_{21}=-4
[/mm]
[mm] D_{22}=2-6=-4 \Rightarrow A_{13}=-4
[/mm]
[mm] D_{23}=1-9=-8 \Rightarrow A_{23}=8
[/mm]
[mm] D_{31}=12-8=4 \Rightarrow A_{31}=4
[/mm]
[mm] D_{32}=4-4=0 \Rightarrow A_{32}=0
[/mm]
[mm] D_{33}=4-6=-2 \Rightarrow A_{33}=-2
[/mm]
Das ergibt dann insgesamt:
[mm] A^{-1}=-7*\pmat{ 4 & -4&4 \\ 8 & -4&0 \\-10&8&-2 }
[/mm]
1. Stimmt das?
2. Wenn ich die -7 gerne noch reinmultiplizieren möchte, worauf muss man da achten? (wegen [mm] \IF_{71} [/mm] )
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Hallo Big_Head78,
> Ok, also bestimme ich mal [mm](detA)^{-1}[/mm] :
>
> zu lösende Gleichung: 8x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71
>
> 71=8*8+7 [mm]\gdw[/mm] 7=8*8-71
> 8=1*7+1 [mm]\gdw[/mm] 1=8-7=8-(8*8-71)=1=-7*8+1*71 [mm]\Rightarrow[/mm] -7
> ist multiplikativ Inverses zu 8.
>
> richtig?
>
(-7) ist nicht multiplikativ Inverses zu 8 in [mm]\IF_{71}[/mm]
> und nun die Elemente der inversen Matrix:
>
> [mm]D_{13}=2-12=-10 \Rightarrow A_{13}=-10[/mm]
>
> [mm]D_{21}=6-2=4 \Rightarrow A_{21}=-4[/mm]
>
> [mm]D_{22}=2-6=-4 \Rightarrow A_{13}=-4[/mm]
>
> [mm]D_{23}=1-9=-8 \Rightarrow A_{23}=8[/mm]
>
> [mm]D_{31}=12-8=4 \Rightarrow A_{31}=4[/mm]
>
> [mm]D_{32}=4-4=0 \Rightarrow A_{32}=0[/mm]
>
> [mm]D_{33}=4-6=-2 \Rightarrow A_{33}=-2[/mm]
>
Die Elemente der Matrix hast Du richtig bestimmt.
> Das ergibt dann insgesamt:
>
> [mm]A^{-1}=-7*\pmat{ 4 & -4&4 \\ 8 & -4&0 \\-10&8&-2 }[/mm]
>
> 1. Stimmt das?
Siehe oben.
> 2. Wenn ich die -7 gerne noch reinmultiplizieren möchte,
> worauf muss man da achten? (wegen [mm]\IF_{71}[/mm] )
Nun, die Elemente mit diesem Faktor multiplizieren
und diese modulo 71 berechnen.
Gruss
MathePower
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Stimmt, -7 ist falsch, hätte ich durch Probe auch selber drauf kommen müssen...
Also Fehler gesucht und hoffentlich gefunden:
8x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71
71=8*8+7 [mm] \gdw [/mm] 7=71-8*8
8=1*7+1 [mm] \gdw [/mm] 1=8-1*7=8-(71-8*8)=8-71+8*8=9*8-71=1
[mm] \Rightarrow9 [/mm] ist multiplikativ Inverses zu 8 in [mm] \IF_{71} [/mm] (9*8=72 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71), also [mm] (detA)^{-1}=9
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&67 &36 \\ 1 & 67&0\\52&1&69 }
[/mm]
Richtig so?
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Hallo Big_Head78,
> Stimmt, -7 ist falsch, hätte ich durch Probe auch selber
> drauf kommen müssen...
>
> Also Fehler gesucht und hoffentlich gefunden:
>
> 8x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71
>
> 71=8*8+7 [mm]\gdw[/mm] 7=71-8*8
> 8=1*7+1 [mm]\gdw[/mm] 1=8-1*7=8-(71-8*8)=8-71+8*8=9*8-71=1
>
> [mm]\Rightarrow9[/mm] ist multiplikativ Inverses zu 8 in [mm]\IF_{71}[/mm]
> (9*8=72 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71), also [mm](detA)^{-1}=9[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&67 &36 \\ 1 & 67&0\\52&1&69 }[/mm]
>
> Richtig so?
Wenn Du die 9 in die Matrix hineinmultiplizierst und modulo 71 rechnest, ergibt sich:
[mm]A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&\red{35} &36 \\ 1 & \red{35}&0\\52&1&\red{53} }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke. :)
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