Inverse/Blockmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 18.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, [mm] n_1, n_2 \in \IN [/mm] und n:= [mm] n_1 [/mm] + [mm] n_2
[/mm]
[mm] \{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}
[/mm]
Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls A und D beide invertierbar sind. |
Hallo,
Die eine Richtung habe ich
Sei A,D invertierbar
[mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] * [mm] \pmat{ A^{-1} & -A^{-1}B D^{-1} \\ 0 & D^{-1} } [/mm] = [mm] \pmat{ I_{n_1} & 0 \\ 0 & I_{n_2} } [/mm] = [mm] I_n
[/mm]
->daraus folgt [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] ist invertierbar
- die zweite Richtung fehlt mir.
Sei [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] invertierbar so ist zuzeigen, dass A & D invertierbar sind.
Ist [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] invertierbar so hat die Matrix vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear unabhängig.
Ich verstehe nicht wie man nun auf die Invertierbarkeit von A & D schließen kann
|
|
| |
|
Hi,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]
> [mm]\{ \pmat{ A & B \\
0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>
> Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> A und D beide invertierbar sind.
> Hallo,
> Die eine Richtung habe ich
> Sei A,D invertierbar
> [mm]\pmat{ A & B \\
0 & D }[/mm] * [mm]\pmat{ A^{-1} & -A^{-1}B D^{-1} \\
0 & D^{-1} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ I_{n_1} & 0 \\
0 & I_{n_2} }[/mm] = [mm]I_n[/mm]
> ->daraus folgt [mm]\pmat{ A & B \\
0 & D }[/mm] ist invertierbar
>
> - die zweite Richtung fehlt mir.
>
> Sei [mm]\pmat{ A & B \\
0 & D }[/mm] invertierbar so ist zuzeigen,
> dass A & D invertierbar sind.
>
> Ist [mm]\blue{\pmat{ A & B \\
0 & D }=:M}[/mm] invertierbar so hat die Matrix
> vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear
> unabhängig.
> Ich verstehe nicht wie man nun auf die Invertierbarkeit von
> A & D schließen kann
Hast du doch schon geschrieben:
> Ist M invertierbar so hat die Matrix M
> vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear
> unabhängig.
Damit sind insbesondere alle Spalten von A linear unabhängig.
Damit sind insbesondere alle Zeilen von D linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, danke für die Antwort.
Aber wieso sind die von der Matrix B nicht auch linear unabhängig? Oder sind sie es dann eh?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke für die Antwort.
>
>
> Aber wieso sind die von der Matrix B nicht auch linear
> unabhängig? Oder sind sie es dann eh?
Nein. Schau Dir mal den Fall B=0 an.
FRED
>
> LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]
> [mm]\{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>
> Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> A und D beide invertierbar sind.
Mal so als Tipp, in solch einer Blockmatrix [mm] I_{n} [/mm] (,wie dus genannt hast,) gilt: [mm] det(I_{n})= [/mm] det(A)*det(D). Und eine Matrix ist nunmal invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ein Produkt wird 0, wenn mind. ein Faktor 0 ist. Also wäre nur noch zu zeigen, dass [mm] det(I_{n})= [/mm] det(A)*det(D) ist  .
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> > Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]
> > [mm]\{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>
> >
> > Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> > A und D beide invertierbar sind.
> Mal so als Tipp, in solch einer Blockmatrix [mm]I_{n}[/mm] (,wie
> dus genannt hast,) gilt: [mm]det(I_{n})=[/mm] det(A)*det(D). Und
> eine Matrix ist nunmal invertierbar, wenn die Determinante
> ungleich 0 ist. Ein Produkt wird 0, wenn mind. ein Faktor 0
> ist. Also wäre nur noch zu zeigen, dass [mm]det(I_{n})=[/mm]
> det(A)*det(D) ist .
???? Mit [mm] I_n [/mm] ist die nxn - Einheitsmatrix gemeint !
FRED
>
> Viele Grüße
|
|
|
|
