Inverse Cauchyfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Di 22.05.2012 | | Autor: | jack1975 |
Hallo zusammen,
ich möchte folgendes zeigen: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$, [/mm] die keine Nullfolge ist, so ist [mm] $(x_n^{-1})_n$ [/mm] auch eine Cauchyfolge, wobei wir o.E. annehmen, dass alle [mm] $x_n \neq [/mm] 0$ sind. Einen Beweis dazu habe ich mir überlegt, aber ich muss irgendwo einen kleinen Fehler haben bzw. ich sehe nicht, wo ich benutzt habe dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] keine Nullfolge ist. Mein Beweis: Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben und [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\left| x_n - x_m \right| [/mm] < [mm] \varepsilon \cdot C^2$, [/mm] wobei $C [mm] \geq [/mm] 0$ mit [mm] $\left| x_n\right| \leq [/mm] C$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (da jede Cauchyfolge beschränkt). Dann folgt für alle $n, m [mm] \geq [/mm] N$: [mm] $\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_m}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{x_m - x_n}{x_nx_m}\right| \leq \frac{\varepsilon \cdot C^2}{C^2} [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit müsste die Folge der inversen Elemente ja eine Cauchyfolge sein, aber zum Beispiel [mm] $x_n [/mm] = 1/n$ erfüllt ja auch alle obigen Voraussetzungen -- bis auf keine Nullfolge zu sein -- weshalb die Folge der Inversen, also die Folge der natürlichen Zahlen ja auch keine Cauchyfolge darstellt. Kann mir jemand meinen Fehler zeigen bzw. die Lücke in der Argumentation stopfen?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Di 22.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo zusammen,
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> ich möchte folgendes zeigen: Ist [mm](x_n)_n[/mm] eine Cauchyfolge
> in [mm]\IQ[/mm], die keine Nullfolge ist, so ist [mm](x_n^{-1})_n[/mm] auch
> eine Cauchyfolge, wobei wir o.E. annehmen, dass alle [mm]x_n \neq 0[/mm]
> sind. Einen Beweis dazu habe ich mir überlegt, aber ich
> muss irgendwo einen kleinen Fehler haben bzw. ich sehe
> nicht, wo ich benutzt habe dass [mm](x_n)_n[/mm] keine Nullfolge
> ist. Mein Beweis: Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] gegeben und
> [mm]N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm] mit [mm]\left| x_n - x_m \right| < \varepsilon \cdot C^2[/mm],
> wobei [mm]C \geq 0[/mm] mit [mm]\left| x_n\right| \leq C[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> (da jede Cauchyfolge beschränkt). Dann folgt für alle [mm]n, m \geq N[/mm]:
> [mm]\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_m}\right| = \left| \frac{x_m - x_n}{x_nx_m}\right| \leq \frac{\varepsilon \cdot C^2}{C^2} = \varepsilon[/mm].
Es gilt zwar [mm] $|x_m*x_n|\le C^2$, [/mm] aber daraus folgt nicht [mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] {|x_m*x_n|} \le \bruch [/mm] 1 [mm] {C^2}$. [/mm] Genau hier brauchst Du, daß [mm] $(x_n)$ [/mm] keine Nullfolge ist!
Gruß,
Wolfgang
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