Inverse Matrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 25.01.2006 | | Autor: | abudabu |
| Aufgabe | Es sei $A$ eine invertierbare [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix. Die Vektoren [mm] $x\in\IR^n$, $y\in\IR^n$ [/mm] seien gegeben und [mm] $y^T*A^{-1}*x \not= [/mm] -1$.
Zeigen Sie: Die Matrix $M = A + x * [mm] y^T$ [/mm] ist invertierbar und es gilt
[mm] $M^{-1}=A^{-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{ 1 + y^T * A^{-1} * x} [/mm] * [mm] \left(A^{-1} * x\right) \left(y^T * A^{-1}\right)$. [/mm] |
Ich find einfach keinen Zugang zu dieser Aufgabe. Kann mir bitte jemand nen Tipp geben, wie ich das Ding knacken kann?
Danke
Ricky
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo abudabu!
Rechne einfach nach, dass [mm] $MM^{-1} =E_n$ [/mm] gilt.
Benutze dabei in der Rechnung, dass
[mm] $x\red{y^TA^{-1}x}y^TA^{-1} [/mm] = [mm] \red{y^TA^{-1}x}xy^TA^{-1}$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 Mi 25.01.2006 | | Autor: | abudabu |
Sorry, aber ich komm immer noch nicht weiter.
> [mm]x\red{y^TA^{-1}x}y^TA^{-1} = \red{y^TA^{-1}x}xy^TA^{-1}[/mm]
Gibts irgendwelche Regeln, nach denen ich Vektoren und Matrizen umstellen darf?
Gruß
Ricky
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Sorry, aber ich komm immer noch nicht weiter.
> > [mm]x\red{y^TA^{-1}x}y^TA^{-1} = \red{y^TA^{-1}x}xy^TA^{-1}[/mm]
>
> Gibts irgendwelche Regeln, nach denen ich Vektoren und
> Matrizen umstellen darf?
Also, mit der "Regel" von Julius kommt das eigentlich ziemlich schnell hin - du multiplizierst erst die Klammer aus, dann erhältst du etwas von der Form I-(irgendein Bruch)+irgendwas-(irgendein anderer Bruch) und wenn du das "irgendwas" erweiterst und auch noch auf den Bruchstrich schreibst, kannst du alles zusammenfassen, und zusammen mit dem ersten Bruch fällt es dann weg, sodass nur noch I übrig bleibt. Vielleicht schickst du uns mal deinen Ansatz und wir helfen dann ggf. weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:48 Mi 25.01.2006 | | Autor: | abudabu |
Danke Bastiane,
wenn ich das so mache wie du sagst steht bei mir im Zähler des ersten Bruchs
[mm] -A*(A^{-1}*x)*(y^{T}*A^{-1})
[/mm]
und im Zähler des zweiten Bruchs
[mm] (-A+A^{-1}*x*y^{T}+A^{-1}*x*y^{T}*y^{T}*A^{-1}x-x*y^{T})*(A^{-1}*x)*(y^{T}*A^{-1})
[/mm]
damit die zwei Brüche wegfallen müsste ich also zeigen, dass
[mm] -A+(-A+A^{-1}*x*y^{T}+A^{-1}*x*y^{T}*y^{T}*A^{-1}x-x*y^{T})=0 [/mm]
das bekomm ich aber nicht hin - deshalb wollte ich wissen ob es vielleicht noch weitere Regeln zum Umstellen von Vektoren und Matritzen gibt... ich fühle mich bei sowas ziemlich ohnmächtig.
Gruß
Ricky
|
|
|
| |
|
Hallo Ricky,
Das was Du da hingeschrieben hast, ist sicher nicht Null.
Mit so ein herausgelösten Teilergebnis ist es allerdings schwer zu sagen wo der Fehler liegt.
Leider blieb Deine Frage unbeantwortet. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
