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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:56 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Ich soll zeigen, dass die Inverse eine oberen Dreiecksmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist. |
Hallo,
Ich weiß es gibt im Forum schon viele Antworten zu solch einer Frage, aber ich würde trotzdem noch mal gerne aufschreiben wo ich stecke.
Ich habe selbst dran gearbeitet, jedoch habe ich viele Hinweise im Intrenet dafür verwendet.
[mm] \pmat{a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ &\ddots&\vdots\\ 0&&a_{nn}}\pmat{b_{1i}\\ \vdots\\ b_{ni}}=\pmat{\delta_{1i}\\ \vdots\\ \delta_{ni}} [/mm]
Nun hab ich [mm] b_{ni} [/mm] = [mm] \delta_{ni} [/mm] / [mm] a_{nn}
[/mm]
weiters $ [mm] b_{n-1.j} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\delta_{n-1.i} - a_{n-1.n}b_{ni}}{a_{n-1.n-1}} [/mm] $
weiters $ [mm] b_{n-2,j}=\frac{1}{a_{n-2,n-2}}(\delta_{n-2,j}-\sum_{k=n-1}^n a_{n-2,k}b_{k,j}) [/mm] $
Nun habe ich das allgemein hingeschrieben:
$ [mm] b_{ij}=\frac{1}{a_{ii}}\left( \delta_{ij}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right) [/mm] $
Jetzt muss ich zeigen, dass [mm] b_{ij} [/mm] =0 für i > j (denn dann ist es eine obere Dreieckmatrix)
Für i >j ist nun in der Formel das Kroneckadelta 0
Also steht da: $ [mm] b_{ij}=\frac{1}{a_{ii}}( \delta_{ij}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj}) [/mm] $ = [mm] -\frac{1}{a_{ii}}* \sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj})
[/mm]
Weiter weiß ich nicht, ist das bist jetzt okay?
liebe grüße
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Hi,
> Also steht da: [mm]b_{ij}=\frac{1}{a_{ii}}( \delta_{ij}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj})[/mm]
> = [mm]-\frac{1}{a_{ii}}* \sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj})[/mm]
So ganz schnell geht es nicht.
Ich halte fest, was du schon hast
Für [mm]j=1,\ldots, n[/mm] hast du
[mm] $b_{nj}=\frac{\delta_{nj}}{a_{nn}}$
[/mm]
und
[mm] $b_{ij}=\frac{1}{a_{ii}}\left( \delta_{ij}-\sum_{k=i+1}^{n}a_{ik}b_{kj} \right),\quadd i=n-1,\ldots, [/mm] 1$
Das ist völlig analog zur Rückwärtssubstitution. Wegen [mm]a_{ii}\neq 0[/mm] existiert die Inverse!
Nun folgt Induktion:
Wir zeigen [mm]b_{tj}=0[/mm] für [mm]t>j[/mm] und [mm]j
IA: [mm]b_{nj}=\frac{\delta_{nj}}{a_{nn}}=0[/mm]
IVoraus: Sei nun [mm]b_{nj}=\ldots = b_{tj}=0[/mm] mit [mm]t>j+1[/mm]
IS [mm]b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{s-1,k}b_{kj} \right)=0[/mm] Warum?
gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 19.08.2012 | | Autor: | Lu- |
> Nun folgt Induktion:
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> Wir zeigen [mm]b_{tj}=0[/mm] für [mm]t>j[/mm] und [mm]j
>
> IA: [mm]b_{nj}=\frac{\delta_{nj}}{a_{nn}}=0[/mm]
>
> IVoraus: Sei nun [mm]b_{nj}=\ldots = b_{tj}=0[/mm] mit [mm]t>j+1[/mm]
>
> IS
> [mm]b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{s-1,k}b_{kj} \right)=0[/mm]
> Warum?
>
> gruß
> wieschoo
Schönen Sonntag,
Danke
I.Schritt
t > j
> $ [mm] b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{s-1,k}b_{kj} \right)=0 [/mm] $
Was ist das s? Ich denke es ist ein SChreibfehler und es gehört sO:
[mm] b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{t-1,k}b_{kj} \right)
[/mm]
Nach Induktionsvorraussetzung sind alle [mm] b_{kj} [/mm] der Summe 0.
[mm] a_{t-1,t-1}\not= [/mm] 0,
[mm] \delta_{t-1,j} [/mm] =1 <=> t-1 = j . Aber das kann ja vorkommen bei t > j ?
Liebe grüße,
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> > Nun folgt Induktion:
> >
> > Wir zeigen [mm]b_{tj}=0[/mm] für [mm]t>j[/mm] und [mm]j
> >
> > IA: [mm]b_{nj}=\frac{\delta_{nj}}{a_{nn}}=0[/mm]
> >
> > IVoraus: Sei nun [mm]b_{nj}=\ldots = b_{tj}=0[/mm] mit [mm]t>j+1[/mm]
> >
> > IS
> >
> [mm]b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{s-1,k}b_{kj} \right)=0[/mm]
> > Warum?
> >
> > gruß
> > wieschoo
> Schönen Sonntag,
> Danke
>
> I.Schritt
> t > j
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> >
> [mm]b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{s-1,k}b_{kj} \right)=0[/mm]
>
> Was ist das s? Ich denke es ist ein SChreibfehler und es
> gehört sO:
>
> [mm]b_{t-1,j}=\frac{1}{a_{t-1,t-1}}\left(\delta_{t-1,j}-\sum_{k=t}^{n}a_{t-1,k}b_{kj} \right)[/mm]
>
Da hast du Recht.
> Nach Induktionsvorraussetzung sind alle [mm]b_{kj}[/mm] der Summe
> 0.
> [mm]a_{t-1,t-1}\not=[/mm] 0,
genau
> [mm]\delta_{t-1,j}[/mm] =1 <=> t-1 = j . Aber das kann ja vorkommen
> bei t > j ?
Wenn t-1=j gilt, dann steht links [mm] $b_{jj}$ [/mm] und das darf ungleich 0 sein. Und alles ist gut.
>
> Liebe grüße,
>
>
und diese grüße zurück
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 19.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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