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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:31 So 17.02.2008 | | Autor: | ElDennito |
| Aufgabe | [mm] \begin{pmatrix}
\lambda & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimme die inverse Matrix! |
Hallo, neue Aufgabe: Das Prinzip habe ich verstanden, aber beim Ergebnis bin ich mir unsicher.
Kann das mal jmd kurz durchrechnen und mir sagen, was er/sie als inverse Matrix herausbekommen hat? Ggf mit Lösungsweg.
Ich wäre euch echt dankbar.
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> [mm]\begin{pmatrix}
lambda & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimme die inverse Matrix!
> Hallo, neue Aufgabe: Das Prinzip habe ich verstanden, aber
> beim Ergebnis bin ich mir unsicher.
>
> Kann das mal jmd kurz durchrechnen und mir sagen, was
> er/sie als inverse Matrix herausbekommen hat? Ggf mit
> Lösungsweg.
Hallo,
wir machen das genau andersrum: rechne mal vor, und wir sagen Dir dann, ob's richtig ist.
Gruß v. Angela
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[mm] \begin{pmatrix}
\lambda & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
[/mm]
Einheitsmatrix
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Nächster Schritt: 2I-II
[mm] \begin{pmatrix}
2\lambda-2 & 0 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
[/mm]
E=
[mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun [mm] 2\Lambda [/mm] * II - [mm] I*(2\lambda-2)
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
2\lambda-2 & 0 \\
0 & (2\lambda-2)*4
\end{pmatrix}
[/mm]
E=
[mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 2\lambda-2
\end{pmatrix}
[/mm]
Nächster Schritt: dividieren, damit man links E stehen hat.
dividieren mit [mm] (2\lambda [/mm] -2)
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & (2\lambda-2)*4 : 2\lambda-2
\end{pmatrix}
[/mm]
E=
[mm] \begin{pmatrix}
2 : 2\lambda-2 & -1:2\lambda-2 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
2. Zeile dividiert durch 4
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
E=
[mm] \begin{pmatrix}
1 : \lambda-2 & -1:2\lambda-2 \\
0 & 1:4
\end{pmatrix}
[/mm]
Richtig oder falsch?
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Hallo!
Also ich habe als ergebnis [mm] \pmat{ \bruch{1}{\lambda -1} & -\bruch{1}{2(\lambda -1)} \\ -\bruch{1}{2(\lambda-1)} & \bruch{\lambda}{4(\lambda -1)} } [/mm] heraus.
Ich rechne es noch mal um sicher zu gehen 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 So 17.02.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
So ich habs nich mal durchgerechnet und es musste jetzt stimmen. Du kannst dein Ergebnis auch selbst überprüfen denn es gilt ja [mm] A^{-1}*A=E=A*A^{-1}
[/mm]
Gruß
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Könntest du bei gelegenheit dein Rechnungsweg aufführen? Ich muss wohl einen Fehler beim Lambda gemacht haben.
Danke im Voraus schonmal.
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Hallo!
[mm] \pmat{ \lambda & 2 \\ 2 & 4 }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } |\lambda*II-2I
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ \lambda & 2 \\ 0 & 4\lambda-4 }\pmat{ 1 & 0 \\ -2 & \lambda } |(4\lambda-4)I-2II
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ \lambda(4\lamda-4) & 0 \\ 0 & 4(\lambda-1) }\pmat{ 4\lambda & -2\lambda \\ -2 & \lambda } |I:4\lambda-4 [/mm] und [mm] II:\lambda-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & 4 }\pmat{ \bruch{4\lambda}{4\lambda-4} & -\bruch{2\lambda}{4\lambda-4} \\ -\bruch{2}{\lambda-1} & \bruch{\lambda}{\lambda-1} }...jetzt [/mm] solltest du auf mein ergebnis kommen 1.Zeile durch [mm] \lambda [/mm] teilen und 2.Zeile durch 4 teilen. dann zusammen fassen und dann solltest du auf [mm] \pmat{ \bruch{1}{\lambda -1} & -\bruch{1}{2(\lambda -1)} \\ -\bruch{1}{2(\lambda-1)} & \bruch{\lambda}{4(\lambda -1)} } [/mm] kommen
Gruß
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Keine Kritik, aber ein ganz klein wenig hübscher siehts so aus:
[mm] \bruch{1}{\lambda-1}*\pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & \bruch{\lambda}{4} }
[/mm]
Dann fällt auch besser auf, wie sehr das Inverse mit der Ausgangsmatrix zusammenhängt
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Hallo,
ergänzend zu Tyskies Antwort noch kleine Hinweise.
1. Die Berechnung der Inversen kannst Du selbst am Ende leicht auf ihre Richtigkeit kontrollieren.
Du brauchst doch nur die errechnete Inverse mit der Startmatrix zu multiplizieren, wenn die Einheitsmatrix herauskommt, hast Du richtig gerechnet.
2. Deine Umformungen fand ich unglaublich schlecht zu lesen.
Steck die beiden Matrizen in ein gemeinsames Rechenschema, das ist übersichtlicher:
[mm] \begin{pmatrix} \lambda & 2& | & 1&0 \\ 2 & 4 &| & 0&1 \end{pmatrix},
[/mm]
nun umformen.
3. Der Schritt, für welchen Du schreibst
>> Nun $ [mm] 2\Lambda [/mm] $ * II - $ [mm] I\cdot{}(2\lambda-2) [/mm] $
scheint mir verkehrt zu sein.
Gruß v. Angela
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