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Hallo!
Ich soll beweisen, dass es zu jeder invertierbaren Matrix A ein Polynom [mm] p\in\IK[x] [/mm] gibt mit [mm] A^{-1}=p(A).
[/mm]
Eine Matrix A invertiert man ja, indem man rechts von der Matrix A die Einheitsmatrix hinschreibt. Dann formt man A mit Hilfe des Gauss-Algorithmus um in eine Einheitsmatrix. Dann steht ja rechts das Inverse von A.
Ich habe mir gedacht, dass man aus den elementaren Zeilenumformungen vielleicht sehen könnte, dass es solch ein Polynom geben muss. Bin allerdings nicht weit gekommen.
Kann mir jemand helfen, wie man diese Aufgabe lösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Ein kleiner Tip:
Hast Du mal etwas von den Begriffen "Minimalpolynom" und "charakteristisches Polynom" bzw. vom "Satz von Cayley-Hamilton" gehört?
Dieser besagt, daß für das charakteristische Polynom [mm] \chi_a [/mm] einer Matrix $a_$ gilt: [mm] $\chi_a(a)=0$.
[/mm]
Damit hast Du also schonmal ein Polynom, in dem nur das $a_$ vorkommt - wenn Du jetzt annimmst, daß $a_$ invertierbar ist, daß Du also insbesondere mit Potenzen von [mm] $a^{-1}$ [/mm] multiplizieren kannst und dann mit dem Ausdruck etwas herumspielst, findest Du schnell ein Polynom für [mm] $a^{-1}$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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Also setze ich in das charakteristische Polynom von A die Matrix selbst ein und setze das dann gleich null, was ja nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt.
Aber ich weiß nicht, wie ich das dann nach [mm] A^{-1} [/mm] auflösen soll...
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Hallo.
Nein, so kann man das nicht sagen.
Wenn wir beispielsweise jetzt hätten: das charakteristische Polynom von a ist [mm] x^4+3x^2-2x-1.
[/mm]
Dann gilt eben [mm] a^4+3a^2-2a-1=0.
[/mm]
Wenn wir jetzt +1 rechnen (was ja der Einheitsmatrix entspricht) und mit [mm] a^{-1} [/mm] durchmultiplizieren, haben wir eben [mm] a^{-1}=a^3+3a-2e.
[/mm]
Alles klar?
Gruß,
Christian
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Achso... so hatte ich mir das jetzt auch schon gedacht!
Und wenn meine Gleichung jetzt
[mm] A^{4}+3A^{3}-2A^{2}-2=0 [/mm] wäre, dann würde ich so umformen:
[mm] A^{4}+3A^{3}-2A^{2}-1=1
[/mm]
[mm] A^{3}+3A^{2}-2A^{1}-1A^{-1}=A^{-1}
[/mm]
[mm] A^{3}+3A^{2}-2A^{1}=2A^{-1}
[/mm]
oder?
Auf jeden Fall vielen Dank! 
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Ja, kann man so machen! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Man sieht aber auch, daß das Ganze nicht unbedingt eindeutig ist!
Muß es ja auch nicht...
Gruß,
Christian
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