Inverse/ rationale Nullstelle < VK 22: Algebra 2007 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Vorbemerkung: Empfehlung bevor die erste Aufgabe erledigt wird: bitte über Matrizenmultiplikation informieren (siehe Hinweis unten)
| Aufgabe 1 | (Lineare Algebra)
Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] (a,b,c,d in R). Berechne [mm] A^{2}-(a+d)A [/mm] und leite eine Formel für die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] ab (falls die Inverse existiert)
Hinweis: Die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] zu A ist diejenige Matrix, so dass [mm] A*A^{-1}=E. [/mm] In unserem Beispiel ist [mm] E=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Außerdem muss eine invertierbare Matrix linear unabhängige Spaltenvektoren haben. Das bedeutet hier: [mm] \vektor{a\\ c} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ d} [/mm] sind linear unabhängig. Außerdem gelten für Matrizen die Distributivgesetze (=> Für die Berechnung eines Matrixproduktes bzw. der Potenz einer Matrix siehe Google, Matrizenmultiplikation gleich das Erste und dann etwas runterrollen zu Skalarmultiplikation, Matrizenmultiplikation. Hier finden sich eigentlich alle benötigten Rechenregeln.) |
| Aufgabe 2 | (Algebra)
Bestimme die rationalen Nullstellen von [mm] 3X^{4}+4X^{3}-12X^{2}+4X-15. [/mm] |
Die erste Frage stammt von meinem Kurs Lineare Algebra und die zweite Aufgabe stammt aus dem Lehrbuch von E. Kunz "Algebra".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Ich versuchs mal.
Habe noch nicht die ganze Lösung für die Frage, aber will mal sehn ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin.
$ [mm] A^{2}=\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ a & b \\ c & d }$=\pmat{ a^{2}+cb & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^{2} }
[/mm]
$(a+d)A $ [mm] =\pmat{ a^{2}+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^{2} }
[/mm]
$ [mm] A^{2}-(a+d)A $=\pmat{ a^{2}+cb & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^{2} }-\pmat{ a^{2}+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^{2} }=\pmat{ ad-bc & 0 \\ 0 & bc-ad }
[/mm]
Bei der Inversen war ich mir dann gar nicht mehr sicher:
AX=E
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ x11 & x12 \\ x21 & x22 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Erste Tableau:
[mm] \pmat{ a & b & | & 1 & 0 \\ c & d & | & 0 & 1 } [/mm]
2. Tabelau
[mm] \pmat{ a & b & | & 1 & 0 \\ c -a & d-b & | & -1 & 1 } [/mm]
Endtabelau
[mm] \pmat{ -c+2a & -d+2b & | & 2 & -1 \\ c -a & d-b & | & -1 & 1 } [/mm]
Ich weiß dass $ [mm] A\cdot{}A^{-1}=E. [/mm] $ ergeben sollte. was es bei mir nicht tut, weiß aber net was ich falsch mache.
Bitte um Korrektur.
Merci!
schöne Grüße
Sabrina
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| Aufgabe | | Bestimme die Inverse von A! |
Hallo Sabrina,
Du bist ziemlich nahe an der Lösung. Das Produkt [mm] A^{2}-(a+d)A [/mm] hast Du leider nicht ganz richtig berechnet. Ein Matrixelement ist fehlerhaft.
Der nächste Schritt kann mit Hilfe des Tableus erfolgen, dass Du aufgestellt hast. Du müßtest allerdings die linke Hälfte in [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] überführen, dann ergibt sich rechts die Inverse (Tip: Fallunterscheidung)
Die zweite Möglichkeit ist scharfes hinsehen bei [mm] A^{2}-(a+d)A. [/mm] Dieser Term lässt sich mit einem kleinen Trick in die Form [mm] A*A^{-1}=E [/mm] verwandeln indem Du geeignet dividierst (Vorsicht: Fallunterscheidung)
Hinweis dazu noch: nutze die Distributivgesetze.
So, jetzt ist hoffentlich alles klar
Viele Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 So 23.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Korrekte Version
$ [mm] A^{2}-(a+d)A [/mm] $$ [mm] =\pmat{ a^{2}+cb & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^{2} }-\pmat{ a^{2}+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^{2} }=\pmat{ bc-ad & 0 \\ 0 & bc-ad } [/mm] $
Die Inverse ist
[mm] A^{-1}= \bruch{1}{bc-ad} \pmat{ -d & b \\ c & -a }
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:49 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Kasper |
Hallo Andreas,
ok, ich bin ja eigentlich mehr an Algebra interessiert.
5/3 habe ich als Nullstelle raus (die andere ist -3 und mehr gibt's
dann im Reellen auch nicht).
War das jetzt als Anwendung und ausprobieren der letzten
Algebraaufgabe gedacht? Oder die hätte man das lösen sollen?
Gruß, Kasper
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Hallo Kasper,
Die Aufgabe war eine Anwendung der letzten Aufgabe. Da bekannt ist, dass p ein Teiler von [mm] a_{0} [/mm] ist und q ein Teiler von [mm] a_{n} [/mm] ergeben sich nur sehr wenige Möglichkeiten für eine Nullstelle. Durch einsetzen kann geprüft werden, welche dies sind.
Gruß Andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:51 So 23.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hi Andi,
Wie ist das denn mit dem einsetzen gemeint?
Also ich hätte es so gemacht (und das gleiche rausgebracht)
[mm] a_{0}=-15 [/mm] p Teiler Primärfaktorzerlegung 3/5/1/0
[mm] a_{n}= [/mm] 3 q Teiler Primärfaktorzerlegung 3/1/0
Dann hätt ich gedacht, da [mm] \bruch{p}{q} [/mm] sowie p und q teiler fremd sein müssen kann es nur [mm] \bruch{5}{3} [/mm] sein?
Kann man das so sagen oder wie setzt man dann das richtig ein?
schöne Grüße
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Hallo Sabrina,
Die Primfaktorzerlegung hast Du schon richtig vorgenommen, nur hast Du nicht bedacht, dass wir Sie auf [mm] \IZ [/mm] durchführen müssen. D. h. auch die Negativen der angegebenen Zahlen sind möglich.
Der zweite Punkt betrifft Deine Lösung. Du hast gut erkannt, dass p und q teilerfremd sein müssen. Allerdings ist auch eine Eins im Nenner möglich. Deshalb gibt es noch mehr Möglichkeiten. Auch eine Eins im Zähler geht (regulärer Bruch).
Nicht alle diese Zahlen, die so entstehen müssen eine Nullstelle sein. Es gibt aber noch mehr als Du bis jetzt gefunden hast. Setze einfach die noch dazukommenden möglichen Lösungen ein.
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:44 Di 25.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Ok
Dann ergeben sich mehr mögliche Lösungen und dann setze ich diese in die Ausgansgleichung ein und dann sieht die richtigen Nullstellen?
möglich wären dann hier die Lösungen
3, -3, 5,-5,1,-1, [mm] \bruch{5}{3},-\bruch{5}{3}, \bruch{1}{3},-\bruch{1}{3}, [/mm] und die null oder aus 0/1
stimmt das dann ?
schöne Grüße
Sabrina
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Hallo Sabrina,
Denke Du hast jetzt alle Möglichkeiten komplett, wenn ich das richtig sehe.
Viele Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 27.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 26.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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