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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Inverse/transponierte Matrix
Inverse/transponierte Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse/transponierte Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Fr 09.11.2007
Autor: MathiasK

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Zeige, dass [mm] (A^{-1})'=(A')^{-1}. [/mm]

Hallo,

Diese Frage dürfte eigentlich nicht so schwierig sein, aber ich stecke irgendwie fest. Das A ist in diesem Fall eine lineare Abbildung, und man sollte diesen kleinen Beweis mit Hilfe der bilinearen Form durchführen.

Besten Dank für jeglich Hilfe!!

        
Bezug
Inverse/transponierte Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Fr 09.11.2007
Autor: andreas

hi

ich vermute mal, nach der wahl deines titels, dass $A$ eine quadratische, invertierbare matrix ist und $'$ für transponieren steht? ich weiß nicht, ob hier die betrachtung von bilinearformen wirklich der zeilführende weg ist. ich würde einfach mal mit hilfe der rechenregeln für das transponieren

[m] (A^{-1})' \cdot A' [/m]

ausrechnen und mit der definierenden relation für eine inverse matrix von $A'$ vergleichen. was kann man damit mithilfe der eindeutigkeit der inversen schließen?

grüße
andreas

Bezug
                
Bezug
Inverse/transponierte Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Sa 10.11.2007
Autor: MathiasK

Hey,

besten Dank für deine Antwort, ist dieses Vorgehen korrekt?

[mm] (A^{-1})'A'=(A*A^{-1})'=I [/mm]
[mm] A'(A')^{-1}=(A^{-1})'A' [/mm]
[mm] A'(A')^{-1}(A')^{-1}=(A^{-1})' [/mm]
[mm] (A')^{-1}=(A^{-1})' [/mm]

Nochmals vielen Dank.



Bezug
                        
Bezug
Inverse/transponierte Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 So 11.11.2007
Autor: andreas

hi

> [mm](A^{-1})'A'=(A*A^{-1})'=I[/mm]

das reicht doch (fast) schon. zumindest hast du damit gezeigt, dass [mm] $(A^{-1})'$ [/mm] das linksinverse zu $A'$ ist. jetzt noch argumentieren, dass es auch rechtsinvers ist und dass das inverse eindeutig ist, dann bist du fertig.


>  [mm]A'(A')^{-1}=(A^{-1})'A'[/mm]
>  [mm]A'(A')^{-1}(A')^{-1}=(A^{-1})'[/mm]
>  [mm](A')^{-1}=(A^{-1})'[/mm]

hier fehlen irgendwelche zeichen dazwischen (ich denke mal implikationspfeile). ansonsten ist mir noch nicht ganz klar, warum die erste zeile diese dreierblocks gelten sollte.


grüße
andreas

Bezug
                                
Bezug
Inverse/transponierte Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:34 Mo 12.11.2007
Autor: MathiasK

OK, alles klar. Besten Dank für deine Hilfe!!!

Bezug
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